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| Aufgabe | Sei m [mm] \in \IZ, [/mm] m > 0. Betrachten Sie die Menge
[mm]\IZ / m \IZ : = [/mm][mm] \{ \overline{0}, \overline{1}, \overline{2}, \dots, \overline{m-1} \}[/mm]
[/mm]
der Restklassen modulo m, wobei zu jedem [mm]a \in \IZ[/mm] mit [mm]\overline{a} := a + m\IZ := \{a + mk|k\in\IZ\}[/mm] seine Restklasse bezeichnet wird. In der Menge der Restklassen modulo m sei die Addition definiert durch
[mm] \overline{a} [/mm] + [mm] \overline{b} [/mm] := [mm] \overline{a+b}, \forall [/mm] a, b [mm] \in \IZ.
[/mm]
- Bestimmen Sie für m=2 die Menge der Restklassen modulo 2
- Sei m=4. Zeigen Sie, dass [mm] (\IZ [/mm] / [mm] 4\IZ, [/mm] +) mit der oben erklärten Addition eine abelsche Gruppe ist.
Bemerkung: Zwei Zahlen x,y [mm] \in \IZ [/mm] liegen genau dann in derselben Restklasse, wenn x-y durch m teilbar ist. Man schreibt dafür auch x=y mod m. |
Ich bin mir nicht genau sicher, was [mm] \overline{x} [/mm] bedeutet. Aber ich glaube, wenn ich es richtig verstanden habe, ist die Antwort auf Punt 1 Die Restklasse für m=2 ist [mm] \{\overline{0},\overline{1}\}, [/mm] da ja eine ganze Zahl entweder gerade (ohne Rest durch 2 teilbat ist) oder ungerade(Rest 1).
Bei Punkt zwei bin ich mir sicher, dass [mm] (\IZ [/mm] / [mm] 4\IZ, [/mm] +) eine abelsche Gruppe ist. Grund ist eine Tabelle die ich aufgestellt habe.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Kann ich das als Beweise nehmen, mit der Begründung, dass die Tabelle mMn symmetrisch ist.
Ich wäre über ein bisschen Hilfestellung sehr erfreut.
Ich habe diese Frage in keinem anderen Internetforum gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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> Sei m [mm]\in \IZ,[/mm] m > 0. Betrachten Sie die Menge
> [mm]\IZ / m \IZ : =[/mm][mm] \{ \overline{0}, \overline{1}, \overline{2}, \dots, \overline{m-1} \}[/mm][/mm]
>
> der Restklassen modulo m, wobei zu jedem [mm]a \in \IZ[/mm] mit
> [mm]\overline{a} := a + m\IZ := \{a + mk|k\in\IZ\}[/mm] seine
> Restklasse bezeichnet wird. In der Menge der Restklassen
> modulo m sei die Addition definiert durch
> [mm]\overline{a}[/mm] + [mm]\overline{b}[/mm] := [mm]\overline{a+b}, \forall[/mm] a,
> b [mm]\in \IZ.[/mm]
> - Bestimmen Sie für m=2 die Menge der
> Restklassen modulo 2
> - Sei m=4. Zeigen Sie, dass [mm](\IZ[/mm] / [mm]4\IZ,[/mm] +) mit der oben
> erklärten Addition eine abelsche Gruppe ist.
>
> Bemerkung: Zwei Zahlen x,y [mm]\in \IZ[/mm] liegen genau dann in
> derselben Restklasse, wenn x-y durch m teilbar ist. Man
> schreibt dafür auch x=y mod m.
>
> Ich bin mir nicht genau sicher, was [mm]\overline{x}[/mm] bedeutet.
> Aber ich glaube, wenn ich es richtig verstanden habe, ist
> die Antwort auf Punt 1 Die Restklasse für m=2 ist
> [mm]\{\overline{0},\overline{1}\},[/mm] da ja eine ganze Zahl
> entweder gerade (ohne Rest durch 2 teilbat ist) oder
> ungerade(Rest 1).
Hallo,
die Sache ist ja schon recht weit gediehen!
Mit den Restklassen für m=2 hast Du völlig recht.
>
> Bei Punkt zwei bin ich mir sicher, dass [mm](\IZ[/mm] / [mm]4\IZ,[/mm] +)
> eine abelsche Gruppe ist. Grund ist eine Tabelle die ich
> aufgestellt habe.
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Kann ich das als Beweise nehmen, mit der Begründung, dass
> die Tabelle mMn symmetrisch ist.
Aus der Tabelle kannst Du ablesesn:
die Abgeschlossenheit: es kommen außer 0,1,2,3 keine anderen Element vor.
Die Kommutativität: aufgrund der Symmetrie
das neutrale Element: die 0 tut's
die Inversen: da in jeder Spalte und jeder Zeile die Null vorkommt, hat jedes Elemet ein Inverses.
Was Du der Tabelle nicht ansehen kannst, ist die Assoziativität der Verknüfung.
Die kannst Du aber leicht mit der Def. der Verknüfung unter Berufung auf die in [mm] \IZ [/mm] geltenden Gesetze begründen.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:48 Mo 05.11.2007 | | Autor: | Syladriel |
Vielen Dank für deine Antwort. Ich denke, es wird wohl noch ein bisschen dauern, bis ich meinen eigenen Lösungen trauen werde.
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