Restgliedformel sinh(x) < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:20 Sa 09.05.2009 | | Autor: | tedd |
| Aufgabe | | Zeigen Sie durch Untersuchung des Restglieds, dass die Funktion sinh(x) für alle reellen Zahlen durch dessen Reihe dargestellt werden kann. |
Also die McLaurin Reihe zu sinh(x) lautet
[mm] f(x)=\summe_{k=0}^{\infty}{\bruch{x^{2m+1}}{(2m+1)!}}
[/mm]
Folgende Restgliedformel habe ich aus meinem mathe-Skript:
[mm] \left|R_{n+1}\right| \le \max_{t\in[0;x]} \left|\bruch{x^{n+1}}{(n+1)!}*f^{n+1}(t)\right|
[/mm]
[mm] \left|R_{n+1}\right| \le \bruch{|x|^{n+1}}{(n+1)!} [/mm] * [mm] \max_{t\in[0;x]} \left|*f^{n+1}(t)\right|
[/mm]
So und jetzt komme ich schon nicht weiter...
Da das x jede reelle Zahl sein kann, kann das t ebenfalls jede reelle Zahl sein.
[mm] f^{n+1} [/mm] ist abwechselnd cosh(x) und sinh(x) die beide maximal werden für x [mm] \rightarrow \infty [/mm] also t [mm] \rightarrow \infty [/mm] und somit steht in dem Betrag doch [mm] \infty [/mm] oder nicht?
[mm] \bruch{|x|^{n+1}} [/mm] geht für [mm] n\rightarrow \infty [/mm] und [mm] x\in\IR [/mm] gegen 0
[mm] f^{n+1}(t) [/mm] könnte ich doch auch so schreiben oder?
[mm] f^{n+1}(t)=\bruch{1}{2}e^t+(-1)^n*\bruch{1}{2}*e^{-t}
[/mm]
dazu könnte ich mir vorstellen,
dass da nur noch [mm] \bruch{e^t}{2} [/mm] übrig bleibt für [mm] n\rightarrow\infty [/mm] ?! Eigentlich nicht, denn das ist doch nur eine alternierende Folge die zwischen 2 werten hin und herspringt hmmm. aber weis jetzt auch nicht ob mir das was bringt und bin deshalb auf eure Tips angewiesen.
Danke für die Hilfe und Gruß,
tedd
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> Zeigen Sie durch Untersuchung des Restglieds, dass die
> Funktion sinh(x) für alle reellen Zahlen durch dessen Reihe
> dargestellt werden kann.
> Also die McLaurin Reihe zu sinh(x) lautet
>
> [mm]f(x)=\summe_{k=0}^{\infty}{\bruch{x^{2m+1}}{(2m+1)!}}[/mm]
>
> Folgende Restgliedformel habe ich aus meinem mathe-Skript:
> [mm]\left|R_{n+1}\right| \le \max_{t\in[0;x]} \left|\bruch{x^{n+1}}{(n+1)!}*f^{n+1}(t)\right|[/mm]
>
> [mm]\left|R_{n+1}\right| \le \bruch{|x|^{n+1}}{(n+1)!}[/mm] *
> [mm]\max_{t\in[0;x]} \left|*f^{n+1}(t)\right|[/mm]
>
> So und jetzt komme ich schon nicht weiter...
> Da das x jede reelle Zahl sein kann, kann das t ebenfalls
> jede reelle Zahl sein.
> [mm]f^{n+1}[/mm] ist abwechselnd cosh(x) und sinh(x) die beide
> maximal werden für x [mm]\rightarrow \infty[/mm] also t [mm]\rightarrow \infty[/mm]
> und somit steht in dem Betrag doch [mm]\infty[/mm] oder nicht?
>
> [mm]\bruch{|x|^{n+1}}{(n+1)!}[/mm] geht für [mm]n\rightarrow \infty[/mm] und [mm]x\in\IR[/mm]
> gegen 0
genau! und dann hab ich mir gedacht, dass [mm] \max_{t\in[0;x]} \left|f^{n+1}(t)\right| [/mm] (abwechselnd cosh(x) und |sinh(x)|, somit beide achsensymmetrisch) ihr maximum haben, wenn auch das t sein maximum hat. somit sah ich die beschränktheit (1 bzw 0 nach unten und f(t) als maximum) in multiplikation der oben genannten Nullfolge, was dann am Ende als Restglied 0 ergeben sollte. 
>
> [mm]f^{n+1}(t)[/mm] könnte ich doch auch so schreiben oder?
>
> [mm]f^{n+1}(t)=\bruch{1}{2}e^t+(-1)^n*\bruch{1}{2}*e^{-t}[/mm]
>
> dazu könnte ich mir vorstellen,
> dass da nur noch [mm]\bruch{e^t}{2}[/mm] übrig bleibt für
> [mm]n\rightarrow\infty[/mm] ?! Eigentlich nicht, denn das ist doch
> nur eine alternierende Folge die zwischen 2 werten hin und
> herspringt hmmm. aber weis jetzt auch nicht ob mir das was
> bringt und bin deshalb auf eure Tips angewiesen.
>
> Danke für die Hilfe und Gruß,
> tedd
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