Residuum reelles Integral < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:13 So 31.05.2015 | | Autor: | KilaZ |
| Aufgabe | | [mm] \integral_{-\pi}^{\pi}{\bruch{1}{1+3*cos(x)^2} dx} [/mm] |
Hallo,
ich soll oben genanntes Integral berchnen. Dazu schreibe ich mein Integral zuerst um:
[mm] \integral_{-\pi}^{\pi}{\bruch{1}{1+\bruch{3}{2}*(1+cos(2*x)} dx}.
[/mm]
Zudem: z=e^(i*x)
Nun kann ich als komplexes Kurvenintegral ansetzen.
[mm] \integral_{\abs{z}=1}{\bruch{1}{1+\bruch{3}{2}+\bruch{3}{4}*(z^2+z^{-2})} * \bruch{1}{i*z} dz}=..=\integral_{\abs{z}=1}{\bruch{-4*z*i}{3*z^4+10*z^2+3} dz}
[/mm]
Polstellen: [mm] 3z^4+10z^2+3=0
[/mm]
[mm] z_{1,2}=\pm \bruch{i}{\wurzel{3}}
[/mm]
[mm] z_{3,4}=\pm i*\wurzel{3}
[/mm]
Nun kann ich das Residuum berechnen:
[mm] Res(\bruch{-4*z*i}{3*z^4+10*z^2+3} ,-i*\wurzel{3})=\bruch{i}{4}
[/mm]
Darum ist mein Integral nun [mm] I=2*\pi*i*Residuum=-\bruch{\pi}{2}
[/mm]
Stimmt das so?
Mir ist auch nicht klar, wo beim Residuum nun die Integralgrenzen [mm] (-\pi [/mm] bis [mm] \pi) [/mm] beruecksichtigt werden.
Gruss
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:49 So 31.05.2015 | | Autor: | Infinit |
Hallo KilaZ,
Du bist zwar auf dem richtigen Weg, aber nur teilweise. Da fehlt noch was. Du hast hier ein Linienintegral zu lösen und möchtest dies mit Hilfe des Residuensatzes tun. Dieser Satz ist aber nur anwendbar auf eine geschlossenes Umrandung, die Du hier aber nicht hast, da Du "nur" von -Pi bis Pi auf der reellen Achse das Integral bestimmen sollst.
Was macht man da? Man ergänzt den Wegeanteil auf der reellen Achse durch beispielsweise einen Halbkreis, der für die geschlossene Berandung sorgt. Dann schaut man nach, welche Polstellen innerhalb dieser Berandung liegen, berechnet die Residuenwerte und muss dann von diesem Wert den Wert des Linienintegrals subtrahieren, das durch die Schließung des Wegstückes dazu kam.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:28 Mi 03.06.2015 | | Autor: | KilaZ |
Hi,
danke für deine Antwort!
Leider komme ich nicht drauf, wie ich mein Linienintegral ergänzen muss, dass es geschlossen ist. Wie kann ich mir das bildlich vorstellen?
Gruss
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:08 Do 04.06.2015 | | Autor: | Infinit |
Hallo KilaZ,
ich bin recht sicher, dass Du Dir einen Halbkreis über dem "Durchmesser", der von -Pi bis +Pi reicht auf der reelen Achse, vorstellen kannst. Parametrisiere diesen Halbkreis und rechne das Linienintegral aus. Diesen Wert subtrahierst Du anschließend, von dem Ergebnis, das Du durch die Residuenbestimmung bekommen hast.
Viel Spaß dabei wünscht
Infinit
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 23:03 Do 04.06.2015 | | Autor: | KilaZ |
Guten Abend!
Ok, ein Halbkreis mit Radius [mm] \pi [/mm] müsste so aussehen: [mm] \pi \*e^{i*t} t\in[0,\pi]
[/mm]
Jetzt daraus das Integral:
[mm] \integral_{0}^{\pi}{\pi \*e^{i*t} dt}=2\pi\*i
[/mm]
Beim Residuum habe ich vorher [mm] Res(\bruch{-4\cdot{}z\cdot{}i}{3\cdot{}z^4+10\cdot{}z^2+3} ,-i\cdot{}\wurzel{3})=\bruch{i}{4} [/mm] herausbekommen
Also [mm] I=2\pi\*i(\bruch{i}{4}-2\pi\*i)?
[/mm]
Danke fuer deine Hilfe!
Gruss
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 Mo 08.06.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:49 Fr 05.06.2015 | | Autor: | leduart |
Hallo
am einfachsten ist doch der Halbkreis um 0 mit Radius [mm] \pi [/mm] du läfst von [mm] -\pi [/mm] bis [mm] +\pi [/mm] auf der Achse und auf dem Halbkreis zurück nach [mm] -\pi
[/mm]
Gruss ledum
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> [mm]\integral_{-\pi}^{\pi}{\bruch{1}{1+3*cos(x)^2} dx}[/mm]
> Hallo,
>
> ich soll oben genanntes Integral berchnen. Dazu schreibe
> ich mein Integral zuerst um:
>
> [mm]\integral_{-\pi}^{\pi}{\bruch{1}{1+\bruch{3}{2}*(1+cos(2*x)} dx}.[/mm]
--------------------------------------------------------
Nun ersetzt du [mm] cos(x)=\bruch{e^{ix}+e^{-ix}}{2}. [/mm]
Darunter kann man sich 2 Pfeile der Länge 1 und dem Winkel x bzw. -x gegen die x-Achse vorstellen, die addiert werden und deren Summenpfeil immer auf der x-Achse landet, also immer einen reellen Wert gibt. Wir sind zwar rechentechnisch schon "im Komplexen", haben aber eigentlich "noch gar nichts gemacht".
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> Zudem: z=e^(i*x)
Damit wird noch [mm] dz=ie^{ix}dx=izdx.
[/mm]
> Nun kann ich als komplexes Kurvenintegral ansetzen.
Das z ist nun - weil der Summand [mm] e^{-i*x} [/mm] fehlt - ein komplexes Gebilde, und wir sind im Komplexen. Du fragst weiter unten danach, was die Integrationsgrenzen bedeuten, und das ist ganz entscheidend, wie du nun sehen wirst.
Mit der Substitution [mm] z=e^{i*x} [/mm] weitest du nun nicht deine Funktion auf die Komplexen Zahlen aus (sonst müsstest du aus cos(x) einfach cos(z) machen, und du hättest statt [mm] e^{i*x}+e^{-i*x} [/mm] den Ausdruck [mm] e^{i*z}+e^{-i*z}, [/mm] der nun ganz kompliziert zu verarbeiten wäre). Nein, du machst einfach nur eine Substitution, indem du einen (komplexen) Teil des Kosinus als z substituierst.
Das x läuft im Ausgangsintegral von [mm] -\pi [/mm] bis [mm] \pi. [/mm] Jetzt lassen wir es ebenfalls von [mm] -\pi [/mm] bis [mm] \pi [/mm] laufen und betrachten, wie dann z verläuft. z liegt auf dem Einheitskreis und ist bei [mm] x=-\pi [/mm] ein Punkt auf -180° gegen die x-Achse gedreht, also bei -1 auf der x-Achse. Läuft nun x von [mm] -\pi [/mm] langsam weiter nach [mm] \pi, [/mm] so läuft z auf denm Einheitskreis gegen den Uhrzeigersinn einmal herum, bis es bei 180°, also wieder bei -1 auf der x-Achse, angekommen ist.
Die Integrationsgrenzen und die Art der Substitution legen also den Weg in der komplexen Zahlenebene fest, den die Integration zu nehmen hat, damit die Integralwerte übereinstimmen.
> [mm]\integral_{\abs{z}=1}{\bruch{1}{1+\bruch{3}{2}+\bruch{3}{4}*(z^2+z^{-2})} * \bruch{1}{i*z} dz}=..=\integral_{\abs{z}=1}{\bruch{-4*z*i}{3*z^4+10*z^2+3} dz}[/mm]
>
> Polstellen: [mm]3z^4+10z^2+3=0[/mm]
> [mm]z_{1,2}=\pm \bruch{i}{\wurzel{3}}[/mm]
> [mm]z_{3,4}=\pm i*\wurzel{3}[/mm]
Bis hier richtig. Nun weißt du, dass das Integral linksdrehend über einen geschlossenen Weg den Wert [mm] 2\pi*i*Summe [/mm] der "eingeschlossenen Residuen" ist, deshalb hast du die Singularitäten ja ausgerechnet.
Die Pole [mm] \wurzel{3}i [/mm] und [mm] -\wurzel{3}i [/mm] sind aber [mm] \wurzel{3} [/mm] Einheiten vom Ursprung entfernt, liegen also außerhalb des eingeschlossenen Gebietes (Einheitskreis) und haben keinen Einfluss auf das Ergebnis!
Die Pole [mm] \bruch{\wurzel{3}}{3}i [/mm] und [mm] -\bruch{\wurzel{3}}{3}i [/mm] sind aber [mm] \bruch{\wurzel{3}}{3}<0,6 [/mm] Einheiten vom Ursprung entfernt, liegen also innerhalb des eingeschlossenen Gebietes (Einheitskreis) und erzeugen das Ergebnis!
Du erhältst für beide Residuen denselben Wert [mm] -\bruch{i}{4}, [/mm] als Summe somit [mm] -\bruch{i}{2}. [/mm] Daraus ergibt sich der Integralwert [mm] 2\pi*i*-\bruch{i}{2}=\pi
[/mm]
------------------ Ab hier wirds also falsch -------------
>
> Nun kann ich das Residuum berechnen:
> [mm]Res(\bruch{-4*z*i}{3*z^4+10*z^2+3} ,-i*\wurzel{3})=\bruch{i}{4}[/mm]
>
> Darum ist mein Integral nun
> [mm]I=2*\pi*i*Residuum=-\bruch{\pi}{2}[/mm]
>
> Stimmt das so?
> Mir ist auch nicht klar, wo beim Residuum nun die
> Integralgrenzen [mm](-\pi[/mm] bis [mm]\pi)[/mm] beruecksichtigt werden.
>
> Gruss
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:31 Sa 06.06.2015 | | Autor: | KilaZ |
Hallo
vielen Dank für die ausführliche und gut verstehbare Antwort!
Hat mir sehr geholfen!
MfG
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