Residuum berechnen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:23 Mi 15.07.2015 | | Autor: | rollroll |
| Aufgabe | Bestimme Polstellenordnung und Residuum der Funktion
f: [mm] \IC [/mm] \ 2 [mm] \pi \IZ [/mm] --> [mm] \IC, f(z)=\bruch{z}{cosz-1} [/mm] im Punkt a= 2 [mm] \pi [/mm] |
Hallo,
das mit der Polstellenordnung ist klar. Es handelt sich um einen Pol zweiter Ordnung. Aber wie ich das Residuum berechnen soll, ist mir schleierhaft...
Wäre froh, ihr könntet mir helfen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:54 Mi 15.07.2015 | | Autor: | fred97 |
> Bestimme Polstellenordnung und Residuum der Funktion
> f: [mm]\IC[/mm] \ 2 [mm]\pi \IZ[/mm] --> [mm]\IC, f(z)=\bruch{z}{cosz-1}[/mm] im Punkt
> a= 2 [mm]\pi[/mm]
> Hallo,
> das mit der Polstellenordnung ist klar. Es handelt sich
> um einen Pol zweiter Ordnung.
stimmt.
> Aber wie ich das Residuum
> berechnen soll, ist mir schleierhaft...
> Wäre froh, ihr könntet mir helfen.
Sieh mal hier
https://de.wikipedia.org/wiki/Residuum_(Funktionentheorie(
unter
"Praktische Berechnung"
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:27 Mi 15.07.2015 | | Autor: | rollroll |
Wenn ich die Regel anwende, erhalte ich ja Res(f, 2 [mm] \pi)=\limes_{z\rightarrow\ 2 \pi} [/mm] [(z-2 [mm] \pi)f(z)]'= \limes_{z\rightarrow\ 2 \pi} \bruch{(2z-2 \pi)(cos z -1)+(z^2-2 \pi z)(sin z)}{(cosz-1)^2}. [/mm] Aber dieser GW existiert ja nicht...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:42 Mi 15.07.2015 | | Autor: | fred97 |
> Wenn ich die Regel anwende, erhalte ich ja Res(f, 2
> [mm]\pi)=\limes_{z\rightarrow\ 2 \pi}[/mm] [(z-2 [mm]\pi)f(z)]'= \limes_{z\rightarrow\ 2 \pi} \bruch{(2z-2 \pi)(cos z -1)+(z^2-2 \pi z)(sin z)}{(cosz-1)^2}.[/mm]
> Aber dieser GW existiert ja nicht...
Gefragt ist der Greenzwert
[mm] $\limes_{z\rightarrow\ 2 \pi} [/mm] [(z-2 [mm] \pi)^2f(z)]'$
[/mm]
Auch wenn Du das vielleicht gemeint hast, die Ableitung von $(z-2 [mm] \pi)^2f(z)$ [/mm] hast Du falsch !
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:55 Mi 15.07.2015 | | Autor: | rollroll |
Neuer Versuch für die Ableitung:
[mm] \bruch{(2(z- 2 \pi)z+(z-2 \pi)^2)(cosz-1)+(z-2 \pi)^2z sinz)}{(cosz-1)^2}
[/mm]
Allerdings ist mir immer noch nicht klar, wie ich den GW bestimmen soll...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:25 Do 16.07.2015 | | Autor: | fred97 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Es ist $cos(z)-1=cos(z-2 \pi)-1=\summe_{n=1}^{\infty}(-1)^n* \bruch{(z-2 \pi)^{2n}}{(2n)!}$
Somit:
g(z):=\bruch{cos(z)-1}{(z-2 \pi)^{2}}=- \bruch{1}{2!}+ \bruch{1}{4!}(z-2 \pi)^{2}- \bruch{1}{6!}(z-2 \pi)^{4} \pm
Wir vermerken: $g(2 \pi)= -\bruch{1}{2}$ und $g'(2 \pi)= 0}$
Dann:
(z-2 \pi)^{2}f(z)= \bruch{z}{g(z)} und daher
$[(z-2 \pi)^{2}f(z)]'= \bruch{g(z)-zg'(z)}{g(z)^2} \to -2$ für $ z \to 2 \pi$
FRED
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