Residuum < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:34 Fr 25.06.2010 | | Autor: | Pacapear |
Hallo zuammen!
Ich hab hier ein Beispiel zum Residuum.
Und zwar wird gesagt, dass das Residuum der Funktion [mm] \bruch{1}{z-a} [/mm] in a gleich 1 ist.
Ich weiß nicht so recht, wie man darauf kommt.
Ich weiß, dass wenn a die Singularität von f ist, und ich f um a in eine Laurent-Reihe entwicklen kann, dass dann das Residuum der Koeffizient [mm] a_{-1} [/mm] ist.
Aber bei der Laurent-Reihe haperts bei mir.
Also wenn ich eine Laurent-Reihe um a bekommen will, dann heißt das doch, dass a der Entwicklungspunkt der Reihe ist, oder?
Also will ich eine Reihe der Form [mm] \summe_{k=\infty}^{\infty}a_k(z-a)^k [/mm] oder?
Also muss ich mir doch am besten einen Term basteln, auf den ich die geometrische Reihe anwenden kann, oder?
Und damit in die Reihe das [mm] (z-a)^k [/mm] kommt, brauche ich also einen Term, der am Ende dir Form [mm] \bruch{1}{1-(z-a)} [/mm] hat, richtig?
Aber ich weiß nicht, wie ich darauf kommen soll.
Als Ausgangsbruch hab ich ja [mm] \bruch{1}{z-a}.
[/mm]
Ich hab schon versucht, eine 1 herzumogeln, indem ich mit 0 addiert habe:
[mm] \bruch{1}{z-a}=\bruch{1}{(1-1)+(z-a)}=\bruch{1}{1-1+(z-a)}=\bruch{1}{-(-1+1-(z-a))}=-\bruch{1}{-1+1-(z-a)}=-\bruch{1}{1-(z-a)-1}
[/mm]
Aber irgendwie hilft mir das nicht weiter, jetzt hab ich ja wieder eine 1 zuviel ![[nixweiss]](/images/smileys/nixweiss.gif "[nixweiss]")
Wie muss ich hier vorgehen, um den Bruch in eine Laurentreihe zu bekommen?
LG Nadine
|
|
| |
|
Hallo Nadine,
hier nur eine Teilantwort ohne auf die Laurentreihen einzugehen.
Es gibt doch wunderbare Regeln zur Berechnung von Residuen, die sparen viel Zeit und einen Haufen Rechnerei:
Hat $f$ in [mm] $a\in\IC$ [/mm] eine Pol 1.Ordung, so ist [mm] $\operatorname{Res}_a(f)=\lim\limits_{z\to a}(z-a)\cdot{}f(z)$
[/mm]
Damit ergibt sich hier doch sehr schnell der Wert 1 ...
Ich lasse es mal auf "teilweise beantwortet", da ich auf deine Rechnung nicht eingegangen bin 
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
Doch noch schnell zur Laurentreihe.
Die ist so einfach, dass síe schon dasteht
Es ist doch [mm] $\frac{1}{z-a}=(z-a)^{-1}$
[/mm]
Weitere Potenzen tauchen in der Reihe nicht auf, alle weiteren Koeffizienten (außer dem -1-ten) sind 0 ...
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:04 Mo 12.07.2010 | | Autor: | Pacapear |
Hallo schachuzipus!
Vielen Dank für deine Antwort, war ja eingentlich doch nicht so schwer
LG Nadine
|
|
|
|
