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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:25 Mo 27.07.2009 | | Autor: | one |
| Aufgabe | Zeigen Sie:
[mm] res_0 exp(z+z^{-1}) [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{n!*(n+1)!}
[/mm]
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Ich denke, dass ich zuerst die isolierten Singularitäten bestimmen soll, damit ich danach einfacher das Residum ausrechnen kann.
Also habe ich mal umgeformt in
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{z^n}{n!} [/mm] * [mm] \summe_{n=0}^{\infty}(\bruch{1}{z})^n*\bruch{1}{n!} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{z^n}{n!} [/mm] * [mm] \summe_{n=-\infty}^{0}\bruch{z^n}{n!}.
[/mm]
Ich denke dass es sich bei 0 also nun um eine wesentliche Singularität handelt, da unendlich viele Koeffizienten des zweiten Faktors nicht verschwinden. Kann ich so argumentieren? Und wie kann ich danach weitermachen? Denn es ist realtiv schwierig das Residum für wesentliche Singularitäten zu bestimmen. Bei Polen wäre dies einfacher...
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Hallo one,
> Zeigen Sie:
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> [mm]res_0 exp(z+z^{-1})[/mm] =
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{n!*(n+1)!}[/mm]
>
> Ich denke, dass ich zuerst die isolierten Singularitäten
> bestimmen soll, damit ich danach einfacher das Residum
> ausrechnen kann.
>
> Also habe ich mal umgeformt in
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{z^n}{n!}[/mm] *
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(\bruch{1}{z})^n*\bruch{1}{n!}[/mm] =
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{z^n}{n!}[/mm] *
> [mm]\summe_{n=-\infty}^{0}\bruch{z^n}{n!}.[/mm]
>
> Ich denke dass es sich bei 0 also nun um eine wesentliche
> Singularität handelt, da unendlich viele Koeffizienten des
> zweiten Faktors nicht verschwinden. Kann ich so
> argumentieren? Und wie kann ich danach weitermachen? Denn
Ja, so kannst Du argumentieren.
> es ist realtiv schwierig das Residum für wesentliche
> Singularitäten zu bestimmen. Bei Polen wäre dies
> einfacher...
Nun, multipliziere dieses zwei Reihen miteinander, und bestimme
den Koeffizienten desjenigen Gliedes mit dem Exponenten -1 der
resultierenden Reihe.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:13 Mo 27.07.2009 | | Autor: | one |
Hallo,
Also ich bin mir nicht ganz sicher beim Multiplizieren der beiden Reihen. Folgenes habe ich erhalten:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{z^n}{n!} [/mm] * [mm] \summe_{m=\infty}^{0}\bruch{z^m}{m!} [/mm] = [mm] \summe_{m=\infty}^{0}(\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{z^n}{n!}*\bruch{z^m}{m!})
[/mm]
also wäre [mm] a_{-1} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{z^{n-1}}{n!*(-1)!} [/mm] . Doch das stimmt ja nicht ganz. Was habe ich falsch gemacht?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:11 Di 28.07.2009 | | Autor: | pelzig |
Reihen werden nicht summandenweise multipliziert, so wie du es gemacht hast, sondern mit dem ![[]](/images/popup.gif) Cauchy-Produkt.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:35 Di 28.07.2009 | | Autor: | one |
Hallo,
> Reihen werden nicht summandenweise multipliziert, so wie du
> es gemacht hast, sondern mit dem
> Cauchy-Produkt.
Ok, ich habs nun mal mit dem Cauchy-Produkt gemacht.
Für [mm] a_n [/mm] habe ich [mm] \bruch{z^n}{n!} [/mm] gewählt und für [mm] b_m [/mm] habe ich [mm] \bruch{z^{-m}}{m!} [/mm] gewählt.
Also ist [mm] c_l [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{l} a_k [/mm] * [mm] b_{l-k} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{l} \bruch{z^{2k-l}}{k!*(l-k)!}. [/mm] Doch wie kann ich dies dann weiter vereinfachen? Blicke gerade nicht durch...
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Hallo one,
> Hallo,
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> > Reihen werden nicht summandenweise multipliziert, so wie du
> > es gemacht hast, sondern mit dem
> >
> Cauchy-Produkt.
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> Ok, ich habs nun mal mit dem Cauchy-Produkt gemacht.
>
> Für [mm]a_n[/mm] habe ich [mm]\bruch{z^n}{n!}[/mm] gewählt und für [mm]b_m[/mm]
> habe ich [mm]\bruch{z^{-m}}{m!}[/mm] gewählt.
>
> Also ist [mm]c_l[/mm] = [mm]\summe_{k=0}^{l} a_k[/mm] * [mm]b_{l-k}[/mm] =
> [mm]\summe_{k=0}^{l} \bruch{z^{2k-l}}{k!*(l-k)!}.[/mm] Doch wie kann
> ich dies dann weiter vereinfachen? Blicke gerade nicht
> durch...
Da das Residuum durch das Reihenglied mit dem Index -1
gegeben ist, mußt Du jetzt [mm]c_{-1}[/mm] bestimmen.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:13 Di 28.07.2009 | | Autor: | one |
> Da das Residuum durch das Reihenglied mit dem Index -1
> gegeben ist, mußt Du jetzt [mm]c_{-1}[/mm] bestimmen.
Also dann schreibe ich [mm] \summe_{l=0}^{\infty}c_l [/mm] = [mm] \summe_{l=-\infty}^{0} c_{-l}
[/mm]
Dann ist also [mm] c_{-l}= \summe_{k=0}^{-l}a_k [/mm] * [mm] b_{-l-k} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{-l} \bruch{z^{2k+l}}{k!*(-l-k)!}.
[/mm]
Stimmt dies wirklich?
Doch wenn ich nun [mm] c_{-1} [/mm] berechne, komme ich auf was ganz anderes, als ich eigentlich erhalten sollte...
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Hallo one,
> > Da das Residuum durch das Reihenglied mit dem Index -1
> > gegeben ist, mußt Du jetzt [mm]c_{-1}[/mm] bestimmen.
>
> Also dann schreibe ich [mm]\summe_{l=0}^{\infty}c_l[/mm] =
> [mm]\summe_{l=-\infty}^{0} c_{-l}[/mm]
Nu, das ist mehr eine Umindizierung, die Du da gemacht hast.
>
> Dann ist also [mm]c_{-l}= \summe_{k=0}^{-l}a_k[/mm] * [mm]b_{-l-k}[/mm] =
> [mm]\summe_{k=0}^{-l} \bruch{z^{2k+l}}{k!*(-l-k)!}.[/mm]
> Stimmt
> dies wirklich?
> Doch wenn ich nun [mm]c_{-1}[/mm] berechne, komme ich auf was ganz
> anderes, als ich eigentlich erhalten sollte...
Jetzt mußt Du dafür sorgen, daß [mm]2k+l=-1[/mm] wird.
Umformen und einsetzen liefert dann das gewünschte,
natürlich ohne den Faktor [mm]z^{-1}[/mm].
Gruß
MathePower
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