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Hallo,
man hat mir gesagt, dass Intervalle vom Typ [0,a) mit 0<a<1 relativ offen zu [0,1] seien bzgl. der Standard-Metrik auf R, also d(x,y)=|x-y|.
Ich habe jetzt noch nicht so ganz verstanden wie man das
1. konkret mit Epsilon-Bällen nachweist. (Dazu muss man ja die Metrik,
also meine Abbildung d:R-->R auf [0,1] einschränken.)
2. Warum diese Intervalle wirklich relativ-offen sind. Problematisch erscheint mit nämlich der Nullpunkt, da ist das Intervall doch eigentlich abgeschlossen.
Es wäre super hilfreich, wenn ihr mir den Beweis von 1. mal skizzieren oder vorführen könntet, damit ich weiß wie ich bei sowas vorgehe. Dann wäre ich sehr dankbar wenn ihr mir danach eine neue Aufgabe gebt - die kann dann auch ruhig komplizierter sein (z.B. Mengen deren Elemente Matrizen sind ;)) und ich versuche dann diese Menge mal selbst auf relative Offenheit zu testen.
Dann habe ich noch eine Frage.
Offenheit einer Menge X bedeutet ja, dass:
FÜR JEDES xX EXISTIERT EIN epsilon>0 (in abh. von x): sodass der offene
Ball um x ganz in X liegt.
Ich habe gehört, dass man den Anfang dieses Satzes mit dem Auswahlaxiom interpretieren kann. Indem man eine Abbildung
x-->epsilon(in ab.x) aufstellt. ganz verstanden habe ich das aber irgendwie nicht und ich konnte das auch mit der wikipedia-defintion des auswahlaxioms nicht in einklang bringen. könntet ihr mir da helfen?
vielen dank im voraus!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:27 Di 14.04.2009 | | Autor: | fred97 |
ist X ein topologischer Raum und Y eine Teilmenge von X, so ist Y durch folgende Def. ein topologischer Raum:
M [mm] \subseteq [/mm] Y heißt offen (in Y) : [mm] \gdw [/mm] es ex. G [mm] \subseteq [/mm] X mit: G ist offen in X und M = G [mm] \cap [/mm] Y
Beispiel: X = [mm] \IR [/mm] (mit der üblichen Topologie), Y = [0,1], 0<a<1.
G:= (-1,a) ist offen in X, also ist [0,a) = G [mm] \cap [/mm] Y offen in Y
FRED
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Hi. Kann man das nicht auch ganz minutiös mit Epsilon-Bällen beweisen?
Das würde mich mal interessieren? Und wie ist es nun bei der 0 mit den Epsilon-Bällen. Kann man eventuell noch auf den Zusatz mit dem Auswahlaxiom eingehen. Das würde mich wirklich interessieren.
(Achso und habt ihr vielleicht ein Beispiel FÜR MICH am Start. Wie gesagt das kann ruhig abstrakt sein - muss aber nicht)
Gruß und VIelen Dank im Voraus
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Also dass [0,a) relativ offen in [0,1] ist, kannst du recht fix auf zwei Varianten rausfinden.
1. A offen [mm] \gdw A^c [/mm] abgeschlossen.... was ist [mm] A^c [/mm] bzgl [0,1] und ist das abgeschlossen?
2. Wenn du es auf deine Kugel-Methode machen möchtest, dann betrachte dir doch mal eine [mm] \varepsilon-Kugel [/mm] um die 0. Die liegt natürlich ganz in [0,a), wenn sie entsprechend klein ist.
Sie würde NICHT in [0,a) liegen, wenn du ein Element in der [mm] \varepsilon-Kugel [/mm] finden würdest, dass nicht in [0,a) liegt. Findest du denn so ein Element?
MfG,
Gono.
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und wie sieht es nun mit dem auswahlaxiom aus?
kennt jemand außerdem ein buch mit beispielen dazu?
(also konkreten rechenbeispielen --- können auch alte klausuraufgaben oder so sein)
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Also Beispiele zum Auswahlaxiom zu geben ist ziemlich schwer, weil es eben doch mehr ist als "Wir können uns aus einer unendlichen Menge ein bestimmtes Element auswählen", aber meistens wenn man das tut (aus einer unendlichen Menge etwas auszuwählen) begründet man dies eben mit dem Auswahlaxiom.
Wikipedia gibt eine Menge Beispiele von Äquivalenten Anwendung des Auswahlaxioms, einfach mal durchlesen.
Oder für was suchst du nun genau Beispiele?
MfG,
Gono.
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hi.
in meinem ersten posting habe ich mein problem genau beschrieben.
warum wird genau an dieser stelle das auswahlaxiom verwendet?
wie kann man das mit der wiki definition in einklang bringen?
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Wie im Wiki schon steht:
Das Auswahlaxiom postuliert die Existenz einer Auswahlfunktion, gibt jedoch kein Verfahren an, wie man eine solche konstruieren könnte. Man spricht in diesem Fall von einer schwachen Existenzaussage. Beispielsweise ist es nicht allgemein möglich, für eine beliebige Menge von Teilmengen [mm] \R [/mm] eine Auswahlfunktion explizit anzugeben.
Letztlich machst du in der Definition doch genau das, du sagst "es existiert zu jedem x" usw.
Du benötigst also eine Auswahlfunktion, die dir zu jedem x eine [mm] \varepsilon-Umgebung [/mm] liefert. Die Möglichkeit so eine Umgebung überhaupt wählen zu können (also die Existenz einer Auswahlfunktion), sichert dir das Auswahlaxiom. Ohne dieses könntest du nur schwer für unendlich viele x diese Aussage beweisen.
MfG,
Gono.
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Hallo,
ich habe auch so meine Probleme mit dem Auswahlaxiom.
Ich habe jetzt schon öfter gelesen, dass man mit Hilfe des Auswahlaxioms sagen kann, dass man zu jedem Element eine Menge wählen kann, die dieses Element enthält. Aber wenn ich mir das Auswahlaxiom auf Wiki angucke, verstehe ich das immer andersrum. Ich dachte, es würde aussagen, dass die Auswahlfunktion aus jeder Menge ein Element auswählt und nicht für jedes Element eine Menge wählt....???
Kann mir jemand noch mal erklären, wieso das nicht so ist?
Grüße Ned
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:27 Di 21.04.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Ned
> ich habe auch so meine Probleme mit dem Auswahlaxiom.
> Ich habe jetzt schon öfter gelesen, dass man mit Hilfe des
> Auswahlaxioms sagen kann, dass man zu jedem Element eine
> Menge wählen kann, die dieses Element enthält.
Das kann man damit auch sagen. Das geht aber auch einfach, zu einem Element $x$ kann man einfach die Menge [mm] $\{ x \}$ [/mm] waehlen.
Das Auswahlaxiom kann aber noch viel mehr:
> Aber wenn
> ich mir das Auswahlaxiom auf Wiki angucke, verstehe ich das
> immer andersrum. Ich dachte, es würde aussagen, dass die
> Auswahlfunktion aus jeder Menge ein Element auswählt und
> nicht für jedes Element eine Menge wählt....???
Das Auwahlaxiom sagt:
hast du eine Familie $F$ von nicht-leeren Mengen, d.h. sind die Elemente von $F$ jeweils nicht-leere Mengen, so gibt es (mindestens) eine Funktion $f : F [mm] \to \bigcup [/mm] F$ (genannt Auswahlfunktion) mit $f(X) [mm] \in [/mm] X$ fuer alle $X [mm] \in [/mm] F$ (die $X$ sind nicht-leere Mengen).
Es gibt also eine Funktion, die zu jeder Menge in $F$ genau ein Element aus dieser Menge liefert.
LG Felix
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