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Forum "Physik" - Relativitätstheorie Rechnung
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Relativitätstheorie Rechnung: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:38 Di 13.11.2007
Autor: BOrussenGustav

Aufgabe
Welche Endgescchwindigkeit erreichen Elektronen, die aus der Ruhe heraus durch die Spannung 650 kV beschleunigt werden.

Ich habe Probleme in der Umstellung der Formel.
Man muss ja die kinet. Energie mit der pot. Energie gleichsetzen.
Ekin=Epot
[mm] Epot=e\*U [/mm]
Ekin=Eges-Eo

Es gilt also die Formel:


[mm] \bruch{1}{\wurzel{1-v^2/c^2}}\*m\*c^{2}-m\*c^{2}=e\*U [/mm]

Hier komme ich nicht mehr weiter=

[mm] \bruch{1}{\wurzel{1-v^2/c^2}}\*m\*c^{2}=e\*U+m\*c^{2} [/mm]

[mm] \bruch{1}{\wurzel{1-v^2/c^2}}=\bruch{e\*U}{m\*c^{2}}+1 [/mm]

[mm] \wurzel{1-v^2/c^2}=\bruch{m\*c^{2}}{e\*U}+1 [/mm]

[mm] 1-v^2/c^2=(\bruch{m\*c^{2}}{e\*U}+1)^{2} [/mm]

[mm] -v^2/c^2=(\bruch{m\*c^{2}}{e\*U}+1)^{2}+1 [/mm]

[mm] -v^2=((\bruch{m\*c^{2}}{e\*U}+1)^{2}+1)\*c^2 [/mm]

Bei diesem Schritt kann man das Minus doch weglasse, da hier quadriert wird?

[mm] v=\wurzel{((\bruch{m\*c^{2}}{e\*U}+1)^{2}+1)\*c^2} [/mm]


Stimmt diese Umformung? Kann mir jemand das Ergebnis sagen, bei mir kommt jedes mal was anderes raus...
Danke für eure Hilfe
Gustav

        
Bezug
Relativitätstheorie Rechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:26 Di 13.11.2007
Autor: rainerS

Hallo Gustav!

> Welche Endgescchwindigkeit erreichen Elektronen, die aus
> der Ruhe heraus durch die Spannung 650 kV beschleunigt
> werden.
>  Ich habe Probleme in der Umstellung der Formel.
>  Man muss ja die kinet. Energie mit der pot. Energie
> gleichsetzen.
>  Ekin=Epot
>  [mm]Epot=e\*U[/mm]
>  Ekin=Eges-Eo
>  
> Es gilt also die Formel:
>  
>
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{1-v^2/c^2}}\*m\*c^{2}-m\*c^{2}=e\*U[/mm]
>  
> Hier komme ich nicht mehr weiter
>  
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{1-v^2/c^2}}\*m\*c^{2}=e\*U+m\*c^{2}[/mm]
>  
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{1-v^2/c^2}}=\bruch{e\*U}{m\*c^{2}}+1[/mm]

[ok]

> [mm]\wurzel{1-v^2/c^2}=\bruch{m\*c^{2}}{e\*U}+1[/mm]

[notok]
Hier hast du falsch gerechnet: [mm]\wurzel{1-v^2/c^2}=\bruch{1}{\bruch{e*U}{m*c^{2}}+1}[/mm].

Es ist einfacher, zwei Zeilen vorher ein bischen anders umzuformen. Du hattest:
[mm]\bruch{1}{\wurzel{1-v^2/c^2}}*m*c^{2}=e*U+m*c^{2}[/mm]

[mm]\bruch{1}{\wurzel{1-v^2/c^2}} = \bruch{e*U+m*c^{2}}{m*c^{2}}[/mm]
Kehrwert bilden: [mm]\wurzel{1-v^2/c^2} = \bruch{m*c^{2}}{e*U+m*c^{2}}[/mm]

Du machst aber noch zwei weitere Fehler:

> [mm]1-v^2/c^2=(\bruch{m\*c^{2}}{e\*U}+1)^{2}[/mm]
>  
> [mm]-v^2/c^2=(\bruch{m\*c^{2}}{e\*U}+1)^{2}+1[/mm]

[notok] Vorzeichen falsch: [mm]-v^2/c^2=(\bruch{m\*c^{2}}{e\*U}+1)^{2}\red{-} 1[/mm]

Also: [mm]-v^2=((\bruch{m\*c^{2}}{e\*U}+1)^{2}\red{-}1)\*c^2[/mm]

> Bei diesem Schritt kann man das Minus doch weglasse, da
> hier quadriert wird?

Da steht aber [mm](-1)*(v^2)[/mm], und nicht [mm](-v)^2[/mm], das sind zwei verschiedene Dinge.

Geh mal von
[mm]\wurzel{1-v^2/c^2} = \bruch{m*c^{2}}{e*U+m*c^{2}}[/mm]
aus und rechne weiter!

Viele Grüße
   Rainer

Bezug
                
Bezug
Relativitätstheorie Rechnung: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) oberflächlich richtig Status 
Datum: 20:48 Di 13.11.2007
Autor: BOrussenGustav

Hi,
danke für die Hinweise.

Ich habe jetzt leider keine Zeit mehr, komme aber beim ersten Kopfrechnen schon auf eine Geschwindigkeit [mm] v=2,69*10^8 [/mm] m/s, was ja ziemlich richtig klingt hoffe ich mal.

die Formel lautet:
[mm] v^2=-(\bruch{(mc^2}{(eu+mc^2)}-1)^2*c^2 [/mm]
Habe es jetzt noch eben in Eile doch noch gemacht, hoffe es ist so richtig.
Danke!
Gustav
Bezug
                        
Bezug
Relativitätstheorie Rechnung: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) kleiner Fehler Status 
Datum: 21:20 Di 13.11.2007
Autor: rainerS

Hallo!

> Ich habe jetzt leider keine Zeit mehr, komme aber beim
> ersten Kopfrechnen schon auf eine Geschwindigkeit
> [mm]v=2,69*10^8[/mm] m/s, was ja ziemlich richtig klingt hoffe ich
> mal.
>  
> die Formel lautet:
>  [mm]v^2=-(\bruch{(mc^2}{(eu+mc^2)}-1)^2*c^2[/mm]

Na, da steht links was Positives, und rechts was Negatives, das passt nicht so ganz:

[mm] v^2 = \left(1-\left(\bruch{(mc^2)}{(eU+mc^2)}\right)^2\right)*c^2[/mm],
oder
[mm]v = \bruch{\sqrt{(eU)^2+2eU*mc^2}}{eU+mc^2}c [/mm]

Wenn ich als Abkürzung [mm]x=\bruch{eU}{mc^2}\approx\bruch{650\mathrm{keV}}{511\mathrm{keV}}\approx 1,27[/mm] schreibe, dann ist
[mm]v = \bruch{\sqrt{x^2+2x}}{1+x} c \approx 0,898 c \approx 2,69*10^8[/mm] m/s. [ok]

Viele Grüße
  Rainer
Bezug
                                
Bezug
Relativitätstheorie Rechnung: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) oberflächlich richtig Status 
Datum: 18:08 Mi 14.11.2007
Autor: BOrussenGustav

Hi,
danke für deine Mühe, aber meins ist auch richtig!
Gerade durch das Minus vor dem ganzen Kladderadatsch wird das alles wieder positiv und ich kann die Wurzel davon ziehen. Mein Ergebniss ist ja auch 2,69*10^-8
Bezug
                                        
Bezug
Relativitätstheorie Rechnung: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) kleiner Fehler Status 
Datum: 18:45 Mi 14.11.2007
Autor: rainerS

Hallo!

> Hi,
> danke für deine Mühe, aber meins ist auch richtig!
>  Gerade durch das Minus vor dem ganzen Kladderadatsch wird
> das alles wieder positiv

Das ist falsch, denn in deiner Formel stand:
[mm]v^2=\underbrace{\red{-}}_{\text{negativ}} \quad \underbrace{(\underbrace{\bruch{(mc^2}{(eu+mc^2)}-1}_{\text{negativ}})^2}_{\text{positiv, weil Quadrat}} \quad c^2 [/mm]
Die rechte Seite ist immer negativ, denn da steht ein Minus vor dem Produkt zweier Quadrate.

> und ich kann die Wurzel davon
> ziehen. Mein Ergebniss ist ja auch 2,69*10^-8

Wenn du zweimal das Vorzeichen falsch machst, wird's dadurch noch nicht automatisch richtig.

Viele Grüße
   Rainer
Bezug
                                                
Bezug
Relativitätstheorie Rechnung: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) oberflächlich richtig Status 
Datum: 21:24 Mi 14.11.2007
Autor: BOrussenGustav

Du hast natürlich recht, ich hatte aber nur die Formel falsch aufgeschrieben. Sie heißt natürlich

$ [mm] v^2=-(\bruch{(mc^2)}{(eu+mc^2)})^2-1)\cdot{}c^2 [/mm] $
>  

Denn es wird ja erst die Wurzel über dem v wegquadriert, und dann erst die eins "rübergebracht".
Ich hoffe so stimmt es endlich?

Bezug
                                                        
Bezug
Relativitätstheorie Rechnung: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) oberflächlich richtig Status 
Datum: 12:11 Do 15.11.2007
Autor: rainerS

Hallo!

> Du hast natürlich recht, ich hatte aber nur die Formel
> falsch aufgeschrieben. Sie heißt natürlich
>
> [mm]v^2=-(\bruch{(mc^2)}{(eu+mc^2)})^2-1)\cdot{}c^2[/mm]
>  >  
> Denn es wird ja erst die Wurzel über dem v wegquadriert,
> und dann erst die eins "rübergebracht".
>  Ich hoffe so stimmt es endlich?

Ja, dann sind wir uns einig. Mir fiel gerade eben auf, dass ich eine der Formeln auch falsch eingetippt hatte.

Dann sind wir uns ja einig.

Viele Grüße
   Rainer
Bezug
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