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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:31 Mi 31.10.2007 | | Autor: | Kar_o |
| Aufgabe | Entscheiden Sie für die folgende Relation auf [mm] \IZ [/mm] ob sie die Eigenschaften reflexiv, symmetrisch und transitiv erfüllt. Geben Sie jeweils ein Gegenbeispiel und einen BEWEIS an.
[mm] R:=\{(x,y)|x+(x*y) ist-eine-gerade-ganze-Zahl\} [/mm] |
Ich habe jetzt in langer Diskussion mit einer Freundin festgestellt, dass R reflexiv sein muss weil für alle [mm] x\in\IZ \to (x,x)\in [/mm] R ist. Problem ist ich weiß nicht wie ich den Beweis aufschreiben soll.Kann mir jemand helfen und bei transitiv gibt es das selbe Problem, wir haben durch langes Probieren rausgefunden, dass es transitiv sein muss, können aber nur anhand von Beispielen begründen , aber ebend nicht beweisen.
Symmetrie konnten wir ausschließen, weil wir das Gegenbeispiel [mm] (6,3)\in [/mm] R aber [mm] (3,6)\notin [/mm] R. Da reicht ja das Gegenbeispiel.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:03 Mi 31.10.2007 | | Autor: | Zaed |
Hallo,
wir verwenden: x*y ist gerade, wenn x oder y gerade ist. Aber x*y ist gewiss ungerade, wenn x und y ungerade sind. (Das kann man auch ganz leicht beweisen, sofern das bei euch nicht als gegeben vorrausgesetzt wird)
1) Reflexsiv: (x,x) ist in der Relation, da x + x*x = x(x+1) ist. Nun ist x oder x+1 auf jeden Fall eine gerade Zahl, also ist der Ausdruck gerade.
2) Transitiv: (x,y) und (y,z) seien in der Relation. Dann ist x(y+1) und y(z+1) gerade. zu zeigen: x(z+1) ist gerade.
1. Fall: x ist gerade. Dann sind wir schon fertig, denn dann ist x(z+1) gerade.
2. Fall: x ist nicht gerade. Dann muss y+1 gerade sein, denn x*(y+1) soll ja gerade sein. Wenn y+1 gerade ist, dann ist y ungerade. Da aber y*(z+1) gerade ist, muss z+1 gerade sein. Also ist x*(z+1) gerade :D
fertig...
habe das jetzt extra mit Worten aufgeschrieben, du solltest es vlt. etwas "mathematischer" formulieren. Aber diese Arbeit überlasse ich dir 
Liebe Grüße, Zaed
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