Relationen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Die Menge [mm] \IR^{+} [/mm] aller positiven reellen Zahlen hat die folgenden Eigenschaften:
(i) [mm] a,b \in \IR^{+}\rightarrow a+b \in \IR^{+}[/mm] und [mm] ab \in \IR^{+} [/mm]
(ii) [mm] a \ne 0 \rightarrow a \in \IR^{+}[/mm] oder [mm] a \in \IR^{+} [/mm], aber nicht a, -a [mm] \in \IR^{+}[/mm]
[/mm]
(iii) [mm] 0 \not\in \IR^{+}[/mm]
Nun kehre man diese Betrachtung um: Man denke sich eine nichtleere Teilmenge [mm] \IR^{+} [/mm] von [mm] \IR [/mm] gegeben, die den Aussagen i) iii) genügt, definiere die Relation [mm] a
(Auch hier soll [mm] c>0 [/mm] bedeuten, dass [mm] c \in \IR^{+} [/mm])
|
Hallo!
Also ich hab die Aufgabe so gelöst: [mm] a,b,c \in \IR [/mm]
Zum Trichotomiegesetz: z.Z.: Für je zwei reelle Zahlen [mm] a,b \in \IR [/mm] gilt stets genau eine der folgenden Beziehungen:
[mm] ab [/mm]
Seien [mm] a,b \in \IR [/mm] so, dass [mm] b-a \ne 0 [/mm]
(ii) [mm] \Rightarrow b-a \in \IR^{+}[/mm] oder [mm] -(b-a)=a-b \in \IR^{+} [/mm] ,aber
nicht [mm] (b-a), -(b-a) \in \IR^{+} [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Für je zwei Elemente [mm]a,b \in \IR [/mm] können [mm] a>b (:
\gdw a-b \in \IR^{+}) [/mm] und [mm] a
zutreffen.
Ferner: Für [mm] b-a =0 [/mm] ist wegen (iii) [mm] b-a \not\in \IR^{+} [/mm] und damit können
weder [mm] a>b (: \gdw a-b \in \IR^{+}) [/mm] und [mm] a=b (: \gdw b-a=0 \not\in \IR^{+})
[/mm] noch [mm] a
Zum Transitivitätsgesetz: z.Z.: Ist [mm] a
Seien [mm] a,b,c \in \IR [/mm], so dass [mm] a
(Def) [mm] \Rightarrow b-a \in \IR^{+}[/mm] und [mm] c-b \in \IR^{+}[/mm]
(i) [mm] \Rightarrow (c-b)+(b-a) \in \IR^{+}[/mm]
[mm] \Rightarrow (c-b+b-a) \in \IR^{+} \Rightarrow c-a \in \IR^{+}[/mm]
[mm] \Rightarrow a
Zum Monotoniegesetz: z. Z.: Ist [mm] a0 [/mm].
Seien [mm] a,b \in \IR [/mm], so dass [mm] a
(Def) [mm] \Rightarrow b-a \in \IR^{+}[/mm].
[mm] \Rightarrow b+0-a=b+c-c-a=(b+c)-(c+a)=(b+c)-(a+c) \in \IR^{+}[/mm]
(Def) [mm] \Rightarrow a+c
Sei nun [mm] c>0 [/mm].
[mm] \Rightarrow c \in \IR^{+}[/mm]
(i) [mm] \Rightarrow (b-a)c \in \IR^{+} \Rightarrow bc-ac \in \IR^{+}[/mm]
[mm] ac
q.e.d
Meint ihr das ist so in Ordnung oder ist da irgendwo ein Fehler in dem Beweis?
Danke schon mal im Voraus!
Gruß Deuterinomium
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:18 Di 14.08.2007 | | Autor: | leduart |
Halle
Hab auch nicht den winzigstens Fehler gefunden!
![[super]](/images/smileys/super.gif "[super]")
leduart
|
|
|
|
