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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:56 Mo 04.01.2010 | | Autor: | tower |
| Aufgabe | Es sei die folgende Relation in der Menge Z der ganzen Zahlen gegeben:
[mm]R : ={(n, n+1) | n \in Z}[/mm]
Bestimme die reflexive und die transitive Hülle dieser Relation sowie die kleinste Relation, die diesen beiden Relationen enthält. |
Hallo,
komme hier nicht weiter und würde mich über Hilfe freuen.
Mit Hülle ist hier doch die kleinste Relation gemeint und wenn die Menge Z ist müssen für die Reflexivität doch alle Element auf der Diagonalen in der Relation enthalten sein?
Naja, komme hier einfach nicht weiter.
LG, tower
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:07 Mo 04.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo tower,
wie meine so eben durchgeführte Google-Recherche ergeben hat, sind zwei echt verschiedene Definitionen des Begriffes reflexive Hülle im Umlauf:
1. Die reflexive Hülle einer Relation R auf einer Menge M ist die kleinste R umfassende Relation auf M, die reflexiv ist. Wenn ihr diese Definition hattet, hast du völlig recht: alle Elemente der Diagonalen müssen in der reflexiven Hülle sein, damit sie transitiv ist. Konkret sieht die reflexive Hülle dann so aus: [mm]R\cup \{ (x,x) | x\in M \}[/mm].
2. Die reflexive Hülle einer Relation R auf einer Menge M ist die kleinste R umfassende Relation auf M, die mit jedem (x,y) auch (x,x) und (y,y) enthält. Wenn ihr diese Definition hattet, braucht die reflexive Hülle kurioserweise nicht reflexiv zu sein! In diesem Fall sieht die reflexive Hülle konkret so aus: [mm]R\cup \{ (x,x) | x,y\in M\mbox{ mit }(x,y)\in R\}\cup\{ (y,y) | x,y\in M\mbox{ mit }(x,y)\in R\}[/mm]. (Im konkreten Beispiel der Aufgabe müssen auch im Falle dieser Definition alle Elemente der Diagonalen in der reflexiven Hülle sein.)
Schreibe mal zu die zu eurer Definition von reflexiver Hülle passende reflexive Hülle im konkreten Beispiel auf!
Um die transitive Hülle zu bestimmen, solltest du zunächst eine Vorstellung haben, wie R aussieht. Wenn du sie noch nicht hast, schreibe mal 10 Elemente von R auf.
Dann solltest du verstanden haben, wann eine Relation R transitiv heißt: Immer wenn [mm](x,y)\in R[/mm] und [mm](y,z)\in R[/mm], gilt schon [mm](x,z)\in R[/mm].
Die transitive Hülle einer Relation R auf einer Menge M ist die kleinste R umfassende Relation, die transitiv ist.
Welche Elemente müssen also zwangsläufig zur transitiven Hülle (nennen wir sie R*) von dem R aus der Aufgabenstellung gehören? Zunächst mal alle Elemente von R. Dann mit je zwei Elementen [mm](x,y),(y,z)\in R*[/mm] auch (x,z). Wenn du noch nicht siehst, wie R* wohl aussehen wird, überlege die Beispielelemente, die auf jeden Fall zu R* gehören müssen. Vielleicht bringt dich das auf die entscheidende Idee.
Zur kleinsten Relation, die beide Relationen enthält: Die kleinste Relation, die zwei gegebene Relationen enthält, besteht einfach aus allen Elementen der beiden Relationen (ist also nichts anderes als die Vereinigung der beiden Relationen). Im konkreten Beispiel kannst du die gesuchte Relation mithilfe der beiden vorher bestimmten Relationen sehr konkret beschreiben.
Viele Grüße
Tobias
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