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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:42 So 11.06.2006 | | Autor: | MarenWulf |
| Aufgabe 1 | | 1) Eine Funktion 3. Grades hat an der Stelle x=0 ein Extremum und im Punkt (2/0) einen Wendepunkt. Die zugehörige Wendetangente hat die Steigung -3/2. Bestimme f(x). |
| Aufgabe 2 | | 2) Der Funktionsgraph einer ganzrationalen Funktion 3. Grades berührt die x-Achse im Ursprung, hat an der Stelle x=2 eine Wendestelle und schließt mit der x-Achse ein 13,5 Flächeneinheiten großes Flächenstück ein. Bestimme f(x). |
Hallo Leute!
Das oben sind meine beiden Aufgaben. Hier meine Fragen:
Zu 1): Ich kann folgende Bedingungen aufstellen:
f'(0)=0 wegen dem Extremum
f(2)=0 wegen dem Punkt (2/0)
f''(2)=0 wegen dem Wendepunkt
aber was für eine Bedingung kann ich aufgrund der Wendetangente aufstellen? Sind das dann alle Bedingungen oder kann man noch mehr aufstellen?
Zu 2): Ich kann wieder folgende Bedingungen aufstellen:
f(0)=0 wegen dem Berührpunkt im Ursprung
f''(2)=0 wegen der Wendestelle
aber welche Bedingung kann ich wegen dem Flächenstück aufstellen? Sind das dann alle oder habe ich noch welche übersehen?
Wäre echt super, wenn ihr mir da helfen könntet!
Vielen Dank im Voraus!
Maren
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:58 So 11.06.2006 | | Autor: | Disap |
> Hallo Leute!
Hallo Maren.
Zunächst einmal möchte ich dich Fragen, warum du zwei Aufgaben unbedingt in eine 'Frage' reinquetscht? Es schafft dir sicherlich Vorteile, wenn du jede Aufgabe in einer neuen Frage formulierst. Es gibt auch Leute, die können dir leider nur eine Aufgabe beantworten und trauen sich dann nicht, zu antworten. Wobei das dir dann längere Wartezeiten beschafft.
> 1) Eine Funktion 3. Grades hat an der Stelle x=0 ein
> Extremum und im Punkt (2/0) einen Wendepunkt. Die
> zugehörige Wendetangente hat die Steigung -3/2. Bestimme
> f(x).
> Das oben sind meine beiden Aufgaben. Hier meine Fragen:
> Zu 1): Ich kann folgende Bedingungen aufstellen:
Nicht so schnell, vor erst solltest du die allgemeine Funktionsgleichung aufstellen ![[aufgemerkt]](/images/smileys/aufgemerkt.gif "[aufgemerkt]")
$f(x) = [mm] ax^3+bx^2+cx+d$
[/mm]
> f'(0)=0 wegen dem Extremum
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> f(2)=0 wegen dem Punkt (2/0)
> f''(2)=0 wegen dem Wendepunkt
> aber was für eine Bedingung kann ich aufgrund der
> Wendetangente aufstellen? Sind das dann alle Bedingungen
> oder kann man noch mehr aufstellen?
Die Steigung der Wendetangente hast du doch gegeben, d. h. in dem Wendepunkt (der gegeben ist) ist die Steigung gegeben. In Textform heißt das: der Punkt W(2|0) hat die Steigung -1.5
Mit hilfe der ersten Ableitung kannst du nun die vierte und letzte Bedingung aufstellen sowie anschließend die Gleichungen lösen.
> 2) Der Funktionsgraph einer ganzrationalen Funktion 3.
$f(x) = [mm] ax^3+bx^2+cx+d$
[/mm]
> Grades berührt die x-Achse im Ursprung, hat an der Stelle
> x=2 eine Wendestelle und schließt mit der x-Achse ein 13,5
> Flächeneinheiten großes Flächenstück ein. Bestimme f(x).
> Zu 2): Ich kann wieder folgende Bedingungen aufstellen:
> f(0)=0 wegen dem Berührpunkt im Ursprung
Aber nicht ganz. Denn der Berührpunkt bedeutet auch, dass ein Extremum in diesem Punkt, dem Ursprung, liegt.
Also lautet eine weitere Bedingung
$f'(0)=0$
> f''(2)=0 wegen der Wendestelle
> aber welche Bedingung kann ich wegen dem Flächenstück
> aufstellen? Sind das dann alle oder habe ich noch welche
> übersehen?
Das Flächenstück berechnest du doch mit Hilfe des Integrals. D. h. du weißt, dass zwischen zwei Nullstellen (eine ist bekannt) der Flächeninhalt von 13.5 eingeschlossen wird. Allgemein gilt:
$A= [mm] \integral_{n_1}^{n_2}{f(x) dx}$
[/mm]
$13.5= [mm] \integral_{0}^{n_2}{f(x) dx}$
[/mm]
Das musst du jetzt allgemein lösen. Ich würde bei den drei anderen Gleichungen eine Menge umstellen und einsetzen, damit du in dem Integralsterm zunächst nur noch eine Unbekannte hast, bevor du die Integralsgrenzen einsetzt.
So, und nun - mach mal 
> Wäre echt super, wenn ihr mir da helfen könntet!
> Vielen Dank im Voraus!
> Maren
LG Disap
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:52 So 11.06.2006 | | Autor: | MarenWulf |
Super!!!
Vielen Dank, Disap, für deine Antwort und die ausführlichen Erklärungen. Dann werde ich mich jetzt gleich mal dran setzen, die Funktionen "zu finden". Das dürfte ja jetzt nicht mehr allzu schwer sein.
Gruß
Maren
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Zu a):
Wenn du die (bekannte?) Tatsache verwendest, daß die Graphen ganzrationaler Funktionen dritten Grades stets zu ihrem Wendepunkt punktsymmetrisch sind, so kannst du mit dem Ansatz
[mm]f(x) = p(x-2)^3 + q(x-2)[/mm]
von vorneherein einbauen, daß i) [mm]x=2[/mm] Nullstelle ist und ii) sich bei [mm]x=2[/mm] ein Wendepunkt befindet (deshalb kann der Term nur ungerade Potenzen von [mm]x-2[/mm] enthalten). Auf diese Weise hast du nur noch zwei Parameter [mm]p,q[/mm] zu bestimmen. Um hier leicht differenzieren zu können, sollte dir allerdings die Kettenregel bekannt sein. Wenn du davon noch nicht gehört hast, so vergiß diese Mitteilung. Ansonsten kannst du ja die Aufgabe einmal sowohl mit Disaps als auch mit dem obigen Ansatz lösen.
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