Rekursive Folge Monotonie < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:12 Fr 25.02.2011 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | | [mm] $(a_{n})_{n\in \IN}$ [/mm] ist rekursiv definiert durch [mm] $a_{0}=0$ [/mm] und [mm] $a_{n+1}=\sqrt{2+a_{n}}$. [/mm] Es soll die Konvergenz gezeigt und der Grenzwert bestimmt werden. |
Hallo,
Um die Konvergenz zu zeigen muss ich die MOnotonie und die Beschränktheit zeigen. Ich nehme aus den ersten Folgengliedern:
[mm] $a_{0}=0$
[/mm]
[mm] $a_{1}=\sqrt{2}$
[/mm]
[mm] $a_{2}=\sqrt{2+\sqrt{2}}$
[/mm]
an dass die Folge monoton wachsend ist und da ich den Grenzwert bei 2 berechnet habe dass 2 ihr Maximum ist.
also ist noch zu zeigen dass gilt [mm] $2\ge a_{n+1}>a_{n}\ge [/mm] 0$
Aber wenn ich zur Monotonie ansetze:
[mm] $a_{n+1}=\sqrt{2+a_{n}}>a_{n}$ [/mm]
dann sieht meine Behauptung falsch aus. Was stimmt hier nicht??
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Danke und Gruss
kushkush
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:19 Fr 25.02.2011 | | Autor: | fred97 |
> [mm](a_{n})_{n\in \IN}[/mm] ist rekursiv definiert durch [mm]a_{0}=0[/mm] und
> [mm]a_{n+1}=\sqrt{2+a_{n}}[/mm]. Es soll die Konvergenz gezeigt und
> der Grenzwert bestimmt werden.
> Hallo,
>
> Um die Konvergenz zu zeigen muss ich die MOnotonie und die
> Beschränktheit zeigen. Ich nehme aus den ersten
> Folgengliedern:
>
> [mm]a_{0}=0[/mm]
> [mm]a_{1}=\sqrt{2}[/mm]
> [mm]a_{2}=\sqrt{2+\sqrt{2}}[/mm]
>
> an dass die Folge monoton wachsend ist und da ich den
> Grenzwert bei 2 berechnet habe dass 2 ihr Maximum ist.
>
> also ist noch zu zeigen dass gilt [mm]2\ge a_{n+1}>a_{n}\ge 0[/mm]
>
> Aber wenn ich zur Monotonie ansetze:
>
> [mm]a_{n+1}=\sqrt{2+a_{n}}>a_{n}[/mm]
>
> dann sieht meine Behauptung falsch aus.
Wieso denn ? Zeige mit Induktion: [mm]a_{n+1}>a_{n}[/mm] für n [mm] \in \IN.
[/mm]
FRED
> Was stimmt hier
> nicht??
>
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> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
>
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> Danke und Gruss
>
> kushkush
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:04 Sa 26.02.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo,
IV: [mm] $a_{n+1}>a_{n}$
[/mm]
IA: für 1: [mm] $\sqrt{2}>0$
[/mm]
[mm] $n\rightarrow [/mm] n+1$:
[mm] $\sqrt{2+a_{n+1}}>\sqrt{2+a_{n}}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow a_{n+1}>a_{n}$ [/mm]
???
Danke
kushkush
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Hallo kushkush,
> Hallo,
>
> IV: [mm]a_{n+1}>a_{n}[/mm]
> IA: für 1: [mm]\sqrt{2}>0[/mm]
>
> [mm]n\rightarrow n+1[/mm]:
>
> [mm]\sqrt{2+a_{n+1}}>\sqrt{2+a_{n}}[/mm]
Setze jetzt für [mm]a_{n+1}[/mm] die Rekursionsformel ein.
> [mm]\Rightarrow a_{n+1}>a_{n}[/mm]
>
> ???
>
>
> Danke
>
>
> kushkush
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:01 Sa 26.02.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo,
> Setze jetzt für die Rekursionsformel ein.
[mm] $\sqrt{2+\sqrt{2+a_{n}}}>\sqrt{2+a_{n}}$ [/mm]
[mm] $\Rightarrow 2+\sqrt{2+a_{n}}>2+a_{n}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \sqrt{2+a_{n}}>a_{n}$
[/mm]
Wie komme ich hier weiter?
>Gruss Mathepower
Danke!
Gruss
kushkush
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Hallo,
> Hallo,
>
>
> > Setze jetzt für die Rekursionsformel ein.
>
> [mm]\sqrt{2+\sqrt{2+a_{n}}}>\sqrt{2+a_{n}}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow 2+\sqrt{2+a_{n}}>2+a_{n}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \sqrt{2+a_{n}}>a_{n}[/mm]
Viel einfacher:
IV: Sei [mm]n\in\IN[/mm] und [mm]a_n>a_{n-1}[/mm]
Dann ist zu zeigen: [mm]a_{n+1}>a_n[/mm]
[mm]a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}>\sqrt{2+a_{n-1}}[/mm] nach IV und da die Wurzel monoton ist.
[mm]=a_n[/mm]
>
> Wie komme ich hier weiter?
>
> >Gruss Mathepower
>
> Danke!
>
>
> Gruss
>
> kushkush
>
LG
schachuzipus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:07 Sa 26.02.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo!
Siehe mal hier; da wurde diese rekursive Folge ausgiebig diskutiert und erläutert.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:13 Sa 26.02.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo schachuzipus und Loddar,
Danke!!
Gruss
kushkush
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