Rekursive Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:45 Mi 02.03.2011 | | Autor: | zoj |
| Aufgabe | Gegeben sei die rekursiv definierte Folge [mm] (a_{n}) [/mm] definiert durch
[mm] a_{1}=2, a_{n+1} [/mm] = [mm] \bruch{2a_{n}}{5+a_{n}} [/mm] für n [mm] \ge [/mm] 1.
a) Zeigen Sie per Induktion für alle n [mm] \in \IN [/mm] die beiden Ungleichungen [mm] a_{n}>0 [/mm] und [mm] a_{n} \le [/mm] 2
b) Zeigen Sie, dass [mm] (a_{n}) [/mm] monoton fallend ist.
c) Berechnen Sie den Grenzwert a von [mm] (a_{n}). [/mm] |
Bei der Aufgabe a) soll ich im ersten Teil per Induktion folgendes zeigen: [mm] a_{n}>0
[/mm]
Induktionanfang: n=1
[mm] a_{2}= \bruch{2*2}{5+2} [/mm] = [mm] \bruch{4}{7}
[/mm]
Indunktionsschritt: n = n+1
[mm] a_{(n+1)} [/mm] = [mm] \bruch{2a_{n+1}}{5+a_{n+1}}
[/mm]
Jetzt weiß ich nicht, wie ich weiter machen soll.
Kann ich dann schreiben, dass der obige Ausdruck gleich dem hier ist?
[mm] a_{(n+1)} [/mm] = [mm] a_{n} [/mm] + [mm] a_{1} [/mm] = [mm] \bruch{2a_{n}}{5+a_{n}} [/mm] + 1
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Hallo,
> Gegeben sei die rekursiv definierte Folge [mm](a_{n})[/mm] definiert
> durch
> [mm]a_{1}=2, a_{n+1}[/mm] = [mm]\bruch{2a_{n}}{5+a_{n}}[/mm] für n [mm]\ge[/mm] 1.
>
> a) Zeigen Sie per Induktion für alle n [mm]\in \IN[/mm] die beiden
> Ungleichungen [mm]a_{n}>0[/mm] und [mm]a_{n} \le[/mm] 2
>
> b) Zeigen Sie, dass [mm](a_{n})[/mm] monoton fallend ist.
>
> c) Berechnen Sie den Grenzwert a von [mm](a_{n}).[/mm]
> Bei der Aufgabe a) soll ich im ersten Teil per Induktion
> folgendes zeigen: [mm]a_{n}>0[/mm]
>
> Induktionanfang: n=1
> [mm]a_{2}= \bruch{2*2}{5+2}[/mm] = [mm]\bruch{4}{7}[/mm]
Du kannst auch einfach den bereits bekannten Wert [mm] a_1=2 [/mm] als Induktionsanfang verwenden
> Indunktionsschritt: n = n+1
> [mm]a_{(n+1)}[/mm] = [mm]\bruch{2a_{n+1}}{5+a_{n+1}}[/mm]
Sollte wohl eher heißen [mm]a_{(n+1)}[/mm] = [mm]\bruch{2a_{n}}{5+a_{n}}[/mm]
>
> Jetzt weiß ich nicht, wie ich weiter machen soll.
Hier ist deine Induktionsvoraussetzung [mm] a_n>0. [/mm] Überlege dir, warum dann auch [mm] a_{n+1}=\bruch{2a_n}{5+a_n}>0. [/mm] Es ist nicht schwer
>
> Kann ich dann schreiben, dass der obige Ausdruck gleich dem
> hier ist?
> [mm]\red{a_{(n+1)} =a_{n}+ a_{1}}[/mm] = [mm]\bruch{2a_{n}}{5+a_{n}}[/mm] + 1
Nein! So darf man mit Folgen nicht arbeiten. Das wäre eine völlig andere Rekursion als die in der Aufgabenstellung gegebene.
Bei dir wäre [mm] a_2=a_1+a_1=2, [/mm] aber [mm] a_2=\frac{2a_1}{5+a_1}=\frac{4}{7}\neq [/mm] 2. Widerspruch!
>
Ich würde auch den zweiten Teil der Induktion gleich mit reinnehmen. Der Induktionsanfang ist wieder [mm] a_1.
[/mm]
Im Induktionsschritt musst du dir überlegen, warum [mm] a_{n+1}=\bruch{2a_n}{5+a_n}\leq2, [/mm] wenn [mm] a_n\leq [/mm] 2. Auch das sollte nicht schwer sein.
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:40 Mi 02.03.2011 | | Autor: | zoj |
[mm] a_{n+1}=\bruch{2a_n}{5+a_n}>0
[/mm]
Ich vermute die Bedingung trifft zu, da Nenner oder Zähler niemals Null werden.
[mm] a_{n+1}=\bruch{2a_n}{5+a_n} \le [/mm] 2
Wir haben an [mm] a_{2} [/mm] = [mm] \bruch{4}{7} [/mm] gesehen, dass die Folgenglieder immer kleiner werden.
Das heißt das erste Folgenglied ist der größte.
Wäre es von der Begründung her in Ordnung?
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> [mm]a_{n+1}=\bruch{2a_n}{5+a_n}>0[/mm]
>
> Ich vermute die Bedingung trifft zu, da Nenner oder Zähler
> niemals Null werden.
Besser: Weil Zähler und Nenner positiv sind.
>
> [mm]a_{n+1}=\bruch{2a_n}{5+a_n} \le[/mm] 2
> Wir haben an [mm]a_{2}[/mm] = [mm]\bruch{4}{7}[/mm] gesehen, dass die
> Folgenglieder immer kleiner werden.
> Das heißt das erste Folgenglied ist der größte.
>
> Wäre es von der Begründung her in Ordnung?
Nein. Für einen Monotoniebeweis reicht es nicht aus, nur ein einziges Folgenglied zu untersuchen. Du musst eine allgemeinere Aussage bekommen. Schau, ob [mm] \bruch{2a_n}{5+a_n}>2 [/mm] sein kann, wenn [mm] a_n\leq2
[/mm]
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:05 Mi 02.03.2011 | | Autor: | zoj |
"Schau, ob $ [mm] \bruch{2a_n}{5+a_n}>2 [/mm] $ sein kann, wenn $ [mm] a_n\leq2 [/mm] $"
Was mir jetzt spontan in den Kopf kommt ist das Einsetzen von [mm] a_{n} [/mm] = 2 in die rekursive Folge.
Demnach wäre:
[mm] \bruch{2*(2)}{5+(2)} [/mm] > 2
= [mm] \bruch{4}{7} [/mm] > 2 ein Widerspruch.
Die Folge wäre somit kleiner gleich 2.
Wie ist es jetzt?
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Hallo zoj,
irgendwie ist das etwas unübersichtlich hier ...
Ist schon gezeigt, dass [mm]a_n>0[/mm] ist für alle [mm]n\in\IN[/mm] ?
Das kannst du im Induktionsschritt verwenden.
> "Schau, ob [mm]\bruch{2a_n}{5+a_n}>2[/mm] sein kann, wenn [mm]a_n\leq2 [/mm]"
>
> Was mir jetzt spontan in den Kopf kommt ist das Einsetzen
> von [mm]a_{n}[/mm] = 2 in die rekursive Folge.
>
> Demnach wäre:
>
> [mm]\bruch{2*(2)}{5+(2)}[/mm] > 2
Du kannst nicht Zähler und Nenner in dieselbe Richtung abschätzen.
Du willst zeigen, dass [mm]a_{n+1}=\frac{2a_n}{5+a_n}\le 2[/mm] ist.
Dazu kannst du den Zähler vergrößern und/oder den Nenner verkleinern.
[mm]\frac{2a_n}{5+a_n}\le\frac{2\cdot{}2}{5+a_n}[/mm] nach IV [mm] ($a_n\le [/mm] 2$)
[mm]<\frac{4}{5+0}[/mm] wegen [mm]a_n>0[/mm] für alle [mm]n\in\IN[/mm]
[mm]=\frac{4}{5}\le 2[/mm]
> = [mm]\bruch{4}{7}[/mm] > 2 ein Widerspruch.
>
> Die Folge wäre somit kleiner gleich 2.
>
> Wie ist es jetzt?
>
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:31 Mi 02.03.2011 | | Autor: | zoj |
Ja, es ist alles ein wenig durcheinanderekommen.
Induktionsvoraussetzung: 0 [mm]
Induktionsanfang: n=0 => [mm] a_{1}=2
[/mm]
Induktionsschritt: n = n+1
0 < [mm] a_{(n+1)} [/mm] = [mm] \bruch{2a_{n}}{5+a_{n}} \le [/mm] 2
Soweit habe ich es.
Als erstes muss ich zeigen, dass:
0 < [mm] \bruch{2a_{n}}{5+a_{n}}
[/mm]
Dann haben wir festgestellt, dass Zähler und Nenner positiv sind und die Folge somit größer als Null ist.
Reicht es als Antwort?
Zweitens:
[mm] \bruch{2a_{n}}{5+a_{n}} \le [/mm] 2
"Du kannst nicht Zähler und Nenner in dieselbe Richtung abschätzen.
Dazu kannst du den Zähler vergrößern und/oder den Nenner verkleinern."
Was meinst du mit Abschätzen? Wenn man den Zähler vergrößert, dann vergrößert sich doch auch der Nenner, da [mm] a_{n} [/mm] sowohl in dem Nenner, als auch in dem Zähler vorkommt.
[mm] \frac{2a_n}{5+a_n}\le\frac{2\cdot{}2}{5+a_n} [/mm] nach IV [mm] (a_n\le [/mm] 2)
Ich verstehe nicht, warum man jetzt im Zähler für [mm] a_{n} [/mm] die 2 einsetzt und im Nenner [mm] a_{n} [/mm] stehen lässt.
$ [mm] <\frac{4}{5+0} [/mm] $ wegen $ [mm] a_n>0 [/mm] $ für alle $ [mm] n\in\IN [/mm] $
Hier hat man im Zähler für [mm] a_{n} [/mm] die 2 eingesetzt und im Nenner eine Null.
$ [mm] =\frac{4}{5}\le [/mm] 2 $
Irgendwie steige ich nicht ganz durch. Woher weiß ich, wo ich was einsetzen muss?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:13 Mi 02.03.2011 | | Autor: | ullim |
Hi,
verkleinere doch einfach den Nenner
[mm] \bruch{2a_n}{5+a_n}\le\bruch{2a_n}{a_n}=2 [/mm] dann hast Du die Abschätzung.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:59 Do 03.03.2011 | | Autor: | zoj |
Habe die ganze Zeit überlegt.
Bin noch bei der Aufgabe a)
a) Zeigen Sie per Induktion für alle n $ [mm] \in \IN [/mm] $ die beiden Ungleichungen $ [mm] a_{n}>0 [/mm] $ und $ [mm] a_{n} \le [/mm] $ 2
Mein Induktionsschritt ist:
0 < [mm] \bruch{2a_{n}}{5+a_{n}} \le [/mm] 2
Wie zeige ich denn jetzt anhand dieser Ungleichung, dass die Bedingungen [mm] (a_{n}>0 [/mm] und [mm] a_{n} \le [/mm] 2 ) zutreffen?
Das ist der Punkt an dem ich nicht weitekomme. Ich weiß, dass man die Ungleichung umstellen muss.
Es wäre ja einfach an ein paar Zahlen einzusetzen und die Ungleichung dann anhand dieser Werte zu prüfen. Das geht aber nicht, da ich es allgemein zeigen soll.
Wie geht man da vor?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:25 Do 03.03.2011 | | Autor: | fred97 |
Als Ind. Vor. hast Du
[mm] 0
Jetzt willst Du zeigen:
0 < $ [mm] \bruch{2a_{n}}{5+a_{n}} \le [/mm] $ 2
Die linke Ungleichung ist klar, denn nach I.V. sind Zähler und Nenner positiv.
Wie Du die rechte Ungleichung bekommst wurde Dir in dieser Diskussion schon mindestens zweimal gezeigt (schachuzipus und ullim)
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:11 Do 03.03.2011 | | Autor: | zoj |
So langsam verstehe ich das.
Also man behauptet obere Schranke sei (2) und eine untere Schranke sei (0).
Jetzt kann man anhand dieser Schranken die Ungleichung zeigen.
Wie Schachuzipus geschrieben hat:
"Dazu kannst du den Zähler vergrößern und/oder den Nenner verkleinern. "
Zähler vergrößern heißt also die obere Schranke(2) in den Zähler einsetzen.
Nenner verkleinern: In den Nener die untere Schranke(0) einsetzen
eingesetzt ergibt es:
0 < [mm] \bruch{2*2}{5+0} \le [/mm] 2
Die Ungleichung ist erfüllt.
Habe ich es soweit richtig verstanden?
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Hallo nochmal,
> So langsam verstehe ich das.
>
> Also man behauptet obere Schranke sei (2) und eine untere
> Schranke sei (0).
>
> Jetzt kann man anhand dieser Schranken die Ungleichung
> zeigen.
>
> Wie Schachuzipus geschrieben hat:
> "Dazu kannst du den Zähler vergrößern und/oder den
> Nenner verkleinern. "
(Jo, weil der Bruch positiv ist)
>
> Zähler vergrößern heißt also die obere Schranke(2) in
> den Zähler einsetzen.
Ja, größer wird's ja nicht, maximal wird [mm]a_n=2[/mm] (IV ist ja [mm]a_n\le 2[/mm])
> Nenner verkleinern: In den Nener die untere Schranke(0)
> einsetzen
Genau, wir verkleinern, indem wir das (positive) [mm]a_n[/mm] abziehen:
[mm]5+a_n>5[/mm], also [mm]\frac{1}{5+a_n}<\frac{1}{5}[/mm]
>
> eingesetzt ergibt es:
> 0 < [mm]\bruch{2*2}{5+0} \le[/mm] 2
> Die Ungleichung ist erfüllt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Habe ich es soweit richtig verstanden?
Es macht stark den Eindruck
Gruß
schachuzipus
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:30 Do 03.03.2011 | | Autor: | zoj |
bei der Aufgabe b) muss ich zeigen, dass [mm] a_{n} [/mm] monoton fallend ist.
Die Bedingung dafür ist: [mm] a_{n} \ge a_{n+1}
[/mm]
Wie es aussieht, wird die Monotonie ebnefalls mit der Induktion bewiesen.
Ind. Anfang: [mm] a_{1}=2 [/mm] > [mm] a_{2} [/mm] = [mm] \bruch{4}{7} [/mm] (Ist erfüllt)
Ind. Annahme: [mm] a_{n} \ge a_{n+1}
[/mm]
Da ich [mm] a_{n} [/mm] nicht kenne, habe ich die nächstgrößeren Folgenglieder genommen.
Ind. Behauptung: [mm] a_{n+1} \ge a_{n+2}
[/mm]
Ind. Schluss:
Nun muss hier auch eine Ungleichung aufgestellt werden.
Bei der Aufgabe davor haben wir gezeigt, dass die Folge beschränkt ist.
Dazu haben wir die gegebenen Werte verwendet. (Obere und untere Schranke)
Bei dieser Aufgabe muss ich ja schauen, ob die folgenden Folgeglieder gößer oder gleich den davorigen Folgegliedern sind.
Genauso wie bei der ersten Aufgabe kann ich nicht für die Untersuchung einfach zwei beliebige Folgenglieder nehmen. Obere- und Untere Schranke verwenden kann ich auch nicht, da diese ja nicht viel über die Folgeglieder dazwischen aussagen.
Wenn ich diese eingesetzt hätte, würde da stehen: [mm] \bruch{4}{7} \ge [/mm] 0
Das wäre eine wahre Aussage.
So wie ich das sehe, muss ich das allgemein an den beiden Gleichungen [mm] a_{n+1} \ge a_{n+2} [/mm] zeigen.
[mm] \bruch{2a_{n+1}}{5+a_{n+1}} \ge \bruch{2a_{n+2}}{5+a_{n+2}}
[/mm]
Wäre das von Gedanken her richtig?
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Hallo,
> bei der Aufgabe b) muss ich zeigen, dass [mm]a_{n}[/mm] monoton
> fallend ist.
>
> Die Bedingung dafür ist: [mm]a_{n} \ge a_{n+1}[/mm]
>
> Wie es aussieht, wird die Monotonie ebnefalls mit der
> Induktion bewiesen.
>
Vergiss das besser mit der Induktion, die Ungleichung
[mm] a_{n} \ge a_{n+1} [/mm] heißt, dass zu zeigen ist: [mm] \bruch{a_{n}}{a_{n+1}}\ge [/mm] 1
Also setzen wir doch mal ein: [mm] \bruch{a_{n}}{\bruch{2a_{n}}{5+a_{n}}}. [/mm] Jetzt noch etwas umformen, aus Teil a verwenden, dass [mm] a_{n} [/mm] immer größer 0 ist, abschätzen und fertig.
Viele Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:15 Do 03.03.2011 | | Autor: | zoj |
Aha,
[mm] \bruch{a_{n}}{a_{n+1}}\ge [/mm] 1
[mm] \bruch{a_{n}}{\bruch{2a_{n}}{5+a_{n}}} \ge [/mm] 1
[mm] \bruch{5+a_{n}}{2}
[/mm]
da [mm] a_{n} [/mm] > 0, ist
[mm] \bruch{5+a_{n}}{2} [/mm] > 1
=> Die Folge ist monoton steigend.
Was meinst du mit Abschätzen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:24 Do 03.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Aha,
>
> [mm]\bruch{a_{n}}{a_{n+1}}\ge[/mm] 1
>
> [mm]\bruch{a_{n}}{\bruch{2a_{n}}{5+a_{n}}} \ge[/mm] 1
>
> [mm]\bruch{5+a_{n}}{2}[/mm]
> da [mm]a_{n}[/mm] > 0, ist
>
> [mm]\bruch{5+a_{n}}{2}[/mm] > 1
> => Die Folge ist monoton steigend.
>
> Was meinst du mit Abschätzen?
[mm]\bruch{5+a_{n}}{2}> \bruch{5+0}{2} = 5/2>1[/mm]
FRED
>
>
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:37 Do 03.03.2011 | | Autor: | zoj |
[mm] \bruch{5+a_{n}}{2}> \bruch{5+0}{2} [/mm] = 5/2>1
Kann ich da auch die 2 einsetzten?
[mm] \bruch{5+a_{n}}{2}> \bruch{5+2}{2} [/mm] = 7/2>1
Was sagt mir das?
Müssen beide Werte eingesetzt größer Eins sein?
(Tut mit leid für di vielen Fragen, aber ich will es verstehen)
Wie bestimme ich nun den Grenzwert der rekursiven Folge?
Muss man da wieder was einsetzen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:53 Do 03.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> [mm]\bruch{5+a_{n}}{2}> \bruch{5+0}{2}[/mm] = 5/2>1
>
> Kann ich da auch die 2 einsetzten?
Unfug !!!
>
> [mm]\bruch{5+a_{n}}{2}> \bruch{5+2}{2}[/mm] = 7/2>1
Das würde bedeuten: [mm] a_n>2 [/mm] , aber das ist falsch.
>
> Was sagt mir das?
> Müssen beide Werte eingesetzt größer Eins sein?
> (Tut mit leid für di vielen Fragen, aber ich will es
> verstehen)
>
> Wie bestimme ich nun den Grenzwert der rekursiven Folge?
> Muss man da wieder was einsetzen?
Sei a der Grenzwert. Dann gilt:
a= [mm] \bruch{2a}{5+a}
[/mm]
Jetzt nach a auflösen.
FRED
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:03 Do 03.03.2011 | | Autor: | zoj |
a= [mm] \bruch{2a}{5+a} [/mm]
Kriege für a zwei Nullstellen:
a=0
a=-3
-3 Kann es nicht sein, da es außerhalb der Grenzen liegt.
Also muss der Grenzwert Null sein.
Stimmt das?
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> a= [mm]\bruch{2a}{5+a}[/mm]
>
> Kriege für a zwei Nullstellen:
>
> a=0
> a=-3
>
> -3 Kann es nicht sein, da es außerhalb der Grenzen liegt.
weil die Folge stets positiv ist.
> Also muss der Grenzwert Null sein.
>
> Stimmt das?
Ja, das stimmt.
Gruß
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:10 Do 03.03.2011 | | Autor: | zoj |
Danke für die Hilfe!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:36 Do 03.03.2011 | | Autor: | ms2008de |
> Aha,
>
> [mm]\bruch{a_{n}}{a_{n+1}}\ge[/mm] 1
>
> [mm]\bruch{a_{n}}{\bruch{2a_{n}}{5+a_{n}}} \ge[/mm] 1
>
> [mm]\bruch{5+a_{n}}{2}[/mm]
> da [mm]a_{n}[/mm] > 0, ist
>
> [mm]\bruch{5+a_{n}}{2}[/mm] > 1
> => Die Folge ist monoton steigend.
Ähm monoton fallend,
des weiteren ist aus etwas Wahrem was Wahres zu folgern noch kein Beweis, du gehst hier immer von aus, dass es größer 1 ist, aber das ist eigentlich erst mal zu zeigen...
Viele Grüße
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