Rekursive Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:59 Do 10.02.2011 | | Autor: | nhard |
| Aufgabe | Es sei $a>0$. Die rekursiv definierte Folge [mm] $(x_n)_n_\in_\IN_0$ [/mm] sei gegeben durch
[mm] $x_0:=a$ [/mm]
[mm] $x_n_+_1=\bruch{1}{3}(x_n+a)$ $n\in \IN_0$
[/mm]
a) Zeigen sie mittels vollständiger Induktion, dass für alle [mm] $n\in\IN_0$ [/mm] gilt: [mm] $x_n\ge\bruch{a}{2}$
[/mm]
b) Zeigen sie: Die Folge [mm] $(x_n)_n_\in_\IN_0$ [/mm] ist monton fallend.
c) Bestimmen sie den Grenzwert der Folge [mm] $(x_n)_n_\in_\IN_0$
[/mm]
d) Es sei [mm] $M:=\{x_n : n \in \IN_0\}$. [/mm] Geben sie (ohne weitere Begründung) an, welche der Größen sup M, max M , inf M und min M existieren unter Angabe der jeweiligen Größen im Fall ihrer Existenz. |
Also zu
a) I-Anfang: [mm] x_0\ge [/mm] a [mm] \ge \bruch{a}{2}$
[/mm]
I-Annahme: Für ein [mm] $n\in \IN_0$ [/mm] gilt [mm] $x_n\ge \bruch{a}{2}$
[/mm]
I-Schluss: [mm] x_n_+_1=\bruch{1}{3}(x_n+a)\ge_(_I_V_)\bruch{1}{3}(\bruch{a}{2}+a)=\bruch{a}{2}\ge \bruch{a}{2}$
[/mm]
Passt das?
Zu b)
Es muss gelten: [mm] $x_n\ge x_n_+_1$
[/mm]
[mm] I-Anfang:$x_0=a \ge \bruch{1}{3}(a+a)=x_1$
[/mm]
I-Annahme: Für ein [mm] $n\in\IN_0$ [/mm] gilt [mm] $x_n\ge x_n_+_1$
[/mm]
I-Schluss: [mm] $x_n_+_1=\bruch{1}{3}(x_n+a)\ge_(_I_V_) \bruch{1}{3}(x_n_+_1+a)=x_n_+_2$
[/mm]
Damit wäre doch Monotonie gezeigt oder?
zu c)
Für [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}$ [/mm] gilt: [mm] $x_n=x_n_+_1$
[/mm]
Also:
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} $x_n=\bruch{1}{3}(x_n+a)$
[/mm]
Jetzt nach [mm] $x_n$ [/mm] auflösen: [mm] $x_n=\bruch{a}{2}$
[/mm]
Der Grenzwert ist somit bestimmt.
zu d)
Also ich hätte gesagt:
inf M = [mm] $\bruch{a}{2}$
[/mm]
max M = sup M = [mm] $\bruch{2}{3}a$
[/mm]
Was haltet ihr von meiner Bearbeitung?
Habe leider keine Lösung zu diesen Aufgaben und bin nicht sicher ob ich hier das richtige gemacht habe..
Danke und lg!!
nhard
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Hallo nhard,
> Es sei [mm]a>0[/mm]. Die rekursiv definierte Folge [mm](x_n)_n_\in_\IN_0[/mm]
> sei gegeben durch
> [mm]x_0:=a[/mm]
> [mm]x_n_+_1=\bruch{1}{3}(x_n+a)[/mm] [mm]n\in \IN_0[/mm]
>
> a) Zeigen sie mittels vollständiger Induktion, dass für
> alle [mm]n\in\IN_0[/mm] gilt: [mm]x_n\ge\bruch{a}{2}[/mm]
> b) Zeigen sie: Die Folge [mm](x_n)_n_\in_\IN_0[/mm] ist monton
> fallend.
> c) Bestimmen sie den Grenzwert der Folge [mm](x_n)_n_\in_\IN_0[/mm]
> d) Es sei [mm]M:=\{x_n : n \in \IN_0\}[/mm]. Geben sie (ohne
> weitere Begründung) an, welche der Größen sup M, max M ,
> inf M und min M existieren unter Angabe der jeweiligen
> Größen im Fall ihrer Existenz.
> Also zu
>
> a) I-Anfang: [mm]x_0\ge[/mm] a [mm]\ge \bruch{a}{2}$[/mm]
> I-Annahme: Für
> ein [mm]n\in \IN_0[/mm] gilt [mm]x_n\ge \bruch{a}{2}[/mm]
> I-Schluss:
> [mm]x_n_+_1=\bruch{1}{3}(x_n+a)\ge_(_I_V_)\bruch{1}{3}(\bruch{a}{2}+a)=\bruch{a}{2}\ge \bruch{a}{2}$[/mm]
>
> Passt das?
Ja, prima!
> Zu b)
>
> Es muss gelten: [mm]x_n\ge x_n_+_1[/mm]
>
> I-Anfang:[mm]x_0=a \ge \bruch{1}{3}(a+a)=x_1[/mm]
>
> I-Annahme: Für ein [mm]n\in\IN_0[/mm] gilt [mm]x_n\ge x_n_+_1[/mm]
>
> I-Schluss: [mm]x_n_+_1=\bruch{1}{3}(x_n+a)\ge_(_I_V_) \bruch{1}{3}(x_n_+_1+a)=x_n_+_2[/mm]
>
> Damit wäre doch Monotonie gezeigt oder?
Ja, auch richtig! Es ist sogar die Art der Monotonie gezeigt, nämlich monoton fallend, wie es verlangt war.
> zu c)
>
> Für [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] gilt: [mm]x_n=x_n_+_1[/mm]
> Also:
>
> [mm]$\limes_{n\rightarrow\infty} $x_n=\bruch{1}{3}(x_n+a)$[/mm]
>
> Jetzt nach [mm]x_n[/mm] auflösen: [mm]x_n=\bruch{a}{2}[/mm]
> Der Grenzwert ist somit bestimmt.
Korrekt!
Wer pingelich ist, würde kritisieren, dass in deiner richtigen Annahme in der ersten Zeile nur [mm] n\to\infty [/mm] stehen sollte anstatt der [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}, [/mm] aber nachdem du ja das richtige meinst und ich nicht pingelich sein will, nimms nur als Hinweis, nicht als Kritik...;)
> zu d)
>
> Also ich hätte gesagt:
>
> inf M = [mm]\bruch{a}{2}[/mm]
> max M = sup M = [mm]\bruch{2}{3}a[/mm]
Hier bin ich nicht ganz einverstanden: Das Maximum (und somit gleichzeitig das Supremum) ist [mm] x_{0}=a. [/mm] Denn in der Menge M ist auch [mm] x_{0} [/mm] enthalten und das ist (aufgrund der Monotonie) das größte Folgenglied.
Mit dem Infimum bin ich einverstanden, das folgt aus den beiden Teilaufgaben b und c.
> Was haltet ihr von meiner Bearbeitung?
> Habe leider keine Lösung zu diesen Aufgaben und bin nicht
> sicher ob ich hier das richtige gemacht habe..
Gut bearbeitet würde ich sagen!
> Danke und lg!!
> nhard
MfG,
MaTEEler
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Do 10.02.2011 | | Autor: | nhard |
Vielen Dank für deine Antwort!
Das mit dem Supremum ist mir auch gerade aufgefallen.
Macht natürlich mehr Sinn :)
Vielen Dank!!!!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:26 Do 10.02.2011 | | Autor: | fred97 |
> Es sei [mm]a>0[/mm]. Die rekursiv definierte Folge [mm](x_n)_n_\in_\IN_0[/mm]
> sei gegeben durch
> [mm]x_0:=a[/mm]
> [mm]x_n_+_1=\bruch{1}{3}(x_n+a)[/mm] [mm]n\in \IN_0[/mm]
>
> a) Zeigen sie mittels vollständiger Induktion, dass für
> alle [mm]n\in\IN_0[/mm] gilt: [mm]x_n\ge\bruch{a}{2}[/mm]
> b) Zeigen sie: Die Folge [mm](x_n)_n_\in_\IN_0[/mm] ist monton
> fallend.
> c) Bestimmen sie den Grenzwert der Folge [mm](x_n)_n_\in_\IN_0[/mm]
> d) Es sei [mm]M:=\{x_n : n \in \IN_0\}[/mm]. Geben sie (ohne
> weitere Begründung) an, welche der Größen sup M, max M ,
> inf M und min M existieren unter Angabe der jeweiligen
> Größen im Fall ihrer Existenz.
> Also zu
>
> a) I-Anfang: [mm]x_0\ge[/mm] a [mm]\ge \bruch{a}{2}$[/mm]
> I-Annahme: Für
> ein [mm]n\in \IN_0[/mm] gilt [mm]x_n\ge \bruch{a}{2}[/mm]
> I-Schluss:
> [mm]x_n_+_1=\bruch{1}{3}(x_n+a)\ge_(_I_V_)\bruch{1}{3}(\bruch{a}{2}+a)=\bruch{a}{2}\ge \bruch{a}{2}$[/mm]
>
> Passt das?
>
> Zu b)
>
> Es muss gelten: [mm]x_n\ge x_n_+_1[/mm]
>
> I-Anfang:[mm]x_0=a \ge \bruch{1}{3}(a+a)=x_1[/mm]
>
> I-Annahme: Für ein [mm]n\in\IN_0[/mm] gilt [mm]x_n\ge x_n_+_1[/mm]
>
> I-Schluss: [mm]x_n_+_1=\bruch{1}{3}(x_n+a)\ge_(_I_V_) \bruch{1}{3}(x_n_+_1+a)=x_n_+_2[/mm]
>
> Damit wäre doch Monotonie gezeigt oder?
>
> zu c)
>
> Für [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] gilt: [mm]x_n=x_n_+_1[/mm]
Im Gegensatz zu meinem Vorredner bin ich pingelig.
Korrekt wäre: [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}x_n=\limes_{n\rightarrow\infty}x_n_+_1
[/mm]
> Also:
>
> [mm]$\limes_{n\rightarrow\infty} $x_n=\bruch{1}{3}(x_n+a)$[/mm]
Auch hier eine Korrektur: [mm]$\limes_{n\rightarrow\infty} $x_n=\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{3}(x_n+a)$[/mm]
>
> Jetzt nach [mm]x_n[/mm] auflösen: [mm]x_n=\bruch{a}{2}[/mm]
Nein. Nenne den Grenzwert von [mm] (x_n) [/mm] mal x. Dann bekommst Du:
$x= [mm] \bruch{1}{3}(x+a)$
[/mm]
Jetzt nach x auflösen.
Ansonsten stimme ich meinem Vorredner zu: gut gemacht.
FRED
> Der Grenzwert ist somit bestimmt.
>
> zu d)
>
> Also ich hätte gesagt:
>
> inf M = [mm]\bruch{a}{2}[/mm]
> max M = sup M = [mm]\bruch{2}{3}a[/mm]
>
>
> Was haltet ihr von meiner Bearbeitung?
> Habe leider keine Lösung zu diesen Aufgaben und bin nicht
> sicher ob ich hier das richtige gemacht habe..
>
> Danke und lg!!
> nhard
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:31 Do 10.02.2011 | | Autor: | nhard |
Danke für deine Antwort!
An der Formalität sollte ich wirklich mal arbeiten...
lg,
nhard
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