Rekursive Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:21 Do 25.11.2010 | | Autor: | SolRakt |
Hallo,
[mm] x_{1} [/mm] = 25
[mm] 3x_{n+1} [/mm] = [mm] 2x_{n} [/mm] + 10
Wie kann man da die Konvergenz gegen 10 mithilfe des Monotoniekriteriums nachweisen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:26 Do 25.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> [mm]x_{1}[/mm] = 25
>
> [mm]3x_{n+1}[/mm] = [mm]2x_{n}[/mm] + 10
>
> Wie kann man da die Konvergenz gegen 10 mithilfe des
> Monotoniekriteriums nachweisen?
Zeige induktiv:
0 [mm] \le x_n \le [/mm] 25
Zeige ebenfalls induktiv:
[mm] x_{n+1} \le x_n
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:29 Do 25.11.2010 | | Autor: | SolRakt |
Hmm..verstehe.
Beim Ersten wäre der IA ja klar, weil 25 [mm] \le [/mm] 25
Nach IV fehlt ja jetzt der IS.
Aber wie formulier ich den: Ich weiß ja nicht, wofür das [mm] x_{n} [/mm] steht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:45 Do 25.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
x:n steht für ein beliebiges glied der Folge. die Ind.Annahme ist WENN xn<25
dann auch [mm] x_{n+1}<25 [/mm] und den Zusammenhang zwischen [mm] x_n [/mm] und [mm] x_{n+1} [/mm] kennst du
Bei ner Induktion kennst du doch n nie, sondern es ist allgemein.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:55 Do 25.11.2010 | | Autor: | SolRakt |
Kann man die erste Bedingung dann so beweisen? (nur IS)
Die Bedingung war ja: 0 [mm] \le x_{n} \le [/mm] 25
Dann soll nun auch: 0 [mm] \le x_{n+1} \le [/mm] 25 gelten:
Ich hab das jetzt aufgeteilt. Einmal [mm] x_{n+1} \ge [/mm] 0 und [mm] x_{n+1} \le [/mm] 25
Ist denk ich einfacher. So, der erste Fall:
[mm] x_{n+1} \ge [/mm] 0
Man setze [mm] x_{n+1} [/mm] ein:
0 [mm] \le \bruch{2}{3} x_{n} [/mm] + [mm] \bruch{10}{3} [/mm]
Da nach IndVor [mm] x_{n} \ge [/mm] 0 gilt die Behauptung. Wenn das bis hierhin stimmt, wäre es dann ratsam, zusätzlich am Ende eine Fallunterscheidung zu machen, also [mm] x_{n} [/mm] = 0 und [mm] x_{n} [/mm] > 0 ?
Der zweite Fall:
[mm] x_{n+1} [/mm] < 25
[mm] \bruch{2}{3}x_{n} [/mm] + [mm] \bruch{10}{3} [/mm] < 25
[mm] 2x_{n} [/mm] + 10 < 75
Reicht es, jetzt schon zu sagen, dass die Aussage stimmt, da [mm] x_{n} \le [/mm] 25, evtl wieder mit Fallunterscheidung?
Danke. Könnt ihr schaun ob man das alles so machen dürfte?
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Hallo,
> Kann man die erste Bedingung dann so beweisen? (nur IS)
>
> Die Bedingung war ja: 0 [mm]\le x_{n} \le[/mm] 25
>
> Dann soll nun auch: 0 [mm]\le x_{n+1} \le[/mm] 25 gelten:
>
> Ich hab das jetzt aufgeteilt. Einmal [mm]x_{n+1} \ge[/mm] 0 und
> [mm]x_{n+1} \le[/mm] 25 ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Ist denk ich einfacher. So, der erste Fall:
>
> [mm]x_{n+1} \ge[/mm] 0
>
> Man setze [mm]x_{n+1}[/mm] ein:
>
> 0 [mm]\le \bruch{2}{3} x_{n}[/mm] + [mm]\bruch{10}{3}[/mm]
>
> Da nach IndVor [mm]x_{n} \ge[/mm] 0 gilt die Behauptung.
Das stimmt, ist nur haarsträubend aufgeschrieben.
Mache das auf dem Übungsblatt ordentlich, sonst gibt's dicken Punktabzug! 
> Wenn das
> bis hierhin stimmt, wäre es dann ratsam, zusätzlich am
> Ende eine Fallunterscheidung zu machen, also [mm]x_{n}[/mm] = 0 und
> [mm]x_{n}[/mm] > 0 ?
Nein, wieso?
>
> Der zweite Fall:
>
> [mm]x_{n+1}[/mm] < 25
Ja, das ist zu zeigen im Induktionsschritt!
> [mm]\bruch{2}{3}x_{n}[/mm] + [mm]\bruch{10}{3}[/mm] < 25
>
> [mm]2x_{n}[/mm] + 10 < 75
>
> Reicht es, jetzt schon zu sagen, dass die Aussage stimmt,
> da [mm]x_{n} \le[/mm] 25,
Ja
> evtl wieder mit Fallunterscheidung?
Nein.
Schöner im Induktionsschritt:
[mm]x_{n+1} \ = \ \frac{2}{3}x_n+\frac{10}{3} \ \overset{\text{IV}}{\le} \ \frac{2}{3}\cdot{}25+\frac{10}{3} \ = \ \frac{60}{3} \ = \ 20 \ \le \ 25[/mm]
>
> Danke. Könnt ihr schaun ob man das alles so machen
> dürfte?
>
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:40 Do 25.11.2010 | | Autor: | SolRakt |
Aber vom grundprinzip geht das so. Ich versuchs nochmal ordentlicher aufzuschreiben. ;) Ich hab grad ja auch mehr meine Ideen aufgeschrieben bzw. meine Ansätze. Danke sehr.
Wenn man das gemacht hat, muss man nun aber auch noch folgendes zeigen oder?
[mm] x_{n+1} \le x_{n}
[/mm]
Hab mir mal Gedanken dazu gemacht. Muss da Induktion anwenden? Ich habs jetzt anders gemacht:
[mm] \bruch{2}{3} x_{n+1} \le \bruch{2}{3} x_{n} [/mm] | [mm] +\bruch{10}{3}
[/mm]
[mm] \bruch{2}{3} x_{n+1} +\bruch{10}{3} \le \bruch{2}{3} x_{n} +\bruch{10}{3}
[/mm]
Der erste Teil, also links vom [mm] \le [/mm] ist ja [mm] x_{n+2} [/mm] und der zweite [mm] x_{n+1}
[/mm]
Somit wäre das dann doch bewiesen oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:26 Do 25.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du gehst falsch vor.
du musst von der IndVors [mm] x_n<25 [/mm] ausgehen und DARAUS zeigen, dass dann auch [mm] x_{n+1}<25
[/mm]
du fängst immer mit der Beh. [mm] x_{n+1}<25 [/mm] an, die du ja erst zeigen willst!
Wenn man alle Umformungen auch rückwärts machen kann geht das, ist aber schlecht, weil man das dann an jeder Stelle überlegen muss. so wie es im anderen post aufgeschrieben war, ist es wirklich am besten.
du hast ja bei deiner kette noch nirgends stehen , dass [mm] x_{n+1}<25 [/mm] und nicht gezeigt, wie du die Ind.Vors [mm] x_n<25 [/mm] benutzt!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:29 Do 25.11.2010 | | Autor: | SolRakt |
Worauf hast du das jetzt genau bezogen? Sry. Auf die Induktion oder das andere von meinem letzten Eintrag?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:50 Do 25.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja, ich hatte mich noch auf die induktion bezogen, und übersehen, dass du eins weiter warst.
du willst zeigen, dass [mm] x_{n+1}
zum Beweis verwendest du diese unbewiesene Beh. nur mit 2/3 multipliziert.
du musst das schon aus [mm] x_{n+1}=2/3*x_n+10/3 [/mm] zeigen!
dabei hättest du besser schon vorher bewiesen, dass [mm] x_n \ge [/mm] 10 und nicht nur [mm] x_n>0 [/mm] ist. denn wenn [mm] x_n<10 [/mm] ist gilt die Ungleichung nicht.
also wieder mit Induktion [mm] x_n \ge [/mm] 10 dann kann man leicht zeigen, dass [mm] x_{n+1}-x_n<0 [/mm] ist, die folge also monoton fällt.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:47 Do 25.11.2010 | | Autor: | SolRakt |
Also soll ich jetzt die Induktion, die ich vorher für [mm] \ge [/mm] 0 gemacht habe, jetzt auch für [mm] \ge [/mm] 10 machen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:53 Do 25.11.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo SolRakt!
[mm] \
[/mm]
Genau! Oder: es wäre geschickter gewesen, diese Ungleichung mit [mm] $\le [/mm] \ 10$ gleich zu zeigen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 05:39 Fr 26.11.2010 | | Autor: | SolRakt |
Hab das jetzt alles so gemacht und auch hingekriegt, danke dafür.
Kann mir jemand hierbei helfen?
[mm] |x_{n+1} [/mm] - 10| = [mm] \bruch{2}{3}|x_{n} [/mm] - 10|
Das soll man beweisen. Ich denke mal mit Induktion. Der IA ist klar, aber kann mir jemand beim IS helfen bzw. einen Ansatz geben. Da steht zwar
[mm] |x_{n+2} [/mm] - 10| = [mm] \bruch{2}{3}|x_{n+1} [/mm] - 10| aber komme da nicht weiter. Danke.
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> Hab das jetzt alles so gemacht und auch hingekriegt, danke
> dafür.
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> Kann mir jemand hierbei helfen?
>
> [mm]|x_{n+1}[/mm] - 10| = [mm]\bruch{2}{3}|x_{n}[/mm] - 10|
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> Das soll man beweisen. Ich denke mal mit Induktion. Der IA
> ist klar, aber kann mir jemand beim IS helfen bzw. einen
> Ansatz geben. Da steht zwar
>
> [mm]|x_{n+2}[/mm] - 10| = [mm]\bruch{2}{3}|x_{n+1}[/mm] - 10| aber komme da
> nicht weiter. Danke.
Hallo,
Induktion brauchst Du hier gar nicht.
Zeige [mm] $|x_{n+1}$ [/mm] - 10| = [mm] $\bruch{2}{3}|x_{n}$ [/mm] - 10| direkt, in dem Du für [mm] x_{n+1} [/mm] die Rekursionsformel einsetzt.
[mm] |x_{n+1} [/mm] - 10| =| ... - 10| = [mm] \bruch{2}{3}*| [/mm] ???| =...
Gruß v. Angela
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