Rekursiv definierte Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:20 Fr 11.05.2007 | | Autor: | shatun |
| Aufgabe | Gutten tag! Ich habe ein Problem und bitte um Hilfe.
Es sei [mm] x_0>-1. [/mm] Man definiere rekursiv die Folge [mm] (x_n) [/mm] reeller Zahlen durch [mm] x_n=1/(1+x_{n+1}) [/mm] und beweise, dass diese Folge konvergiert. Was ist der Grenzwert? |
Ich glaube, ich muss den Banachschen Fixpunktsatz benutzen, aber wie genau weiss ich nicht...
Danke voraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo shatun,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Bist Du sicher bei der dargestellten Rekursionsvorschrift, was die Indizes angeht? ![[aeh]](/images/smileys/aeh.gif "[aeh]")
Ansonsten kannst Du die Eigenschaft der Konvergenz zeigen, indem Du sowohl Monotonie als auch die Beschränktheit der Folge nachweist.
Für beide Eigenschaften bietet sich die vollständige Induktion an.
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:28 Fr 11.05.2007 | | Autor: | shatun |
Sorry! Die Folge definiert so: [mm] x_n=1/(1+x_{n-1}).
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:14 Fr 11.05.2007 | | Autor: | shatun |
Ich komme nicht weiter. Die Folge mit den richtigen Indizes soll ich auch mit den Nachweiss von Monotonie und Beschränktheit bearbeiten?
Danke voraus.
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Hallo shatun!
> Die Folge mit den richtigen Indizes soll ich auch mit den Nachweis
> von Monotonie und Beschränktheit bearbeiten?
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Genau!
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:06 Mi 16.05.2007 | | Autor: | shatun |
Eigentlich, musste man sagen, dass für belibiege [mm] x_1 [/mm] schon [mm] x_3 [/mm] zwischen 0,5 und 1 liegt, und einfach Banachsche Fixpunktsatz benutzen. :)))
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