Rekursiv definierte Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:07 Mo 13.11.2006 | | Autor: | Oxford |
ich soll etwas für eine Folge zeigen. Diese Folge ist rekursiv definiert. Was bedeutet dieses rekursiv? Etwa so?: ich habe die rekursiv definierte folge: $ [mm] a_{n+1}:1+\bruch{1}{a_{n}} [/mm] $ kann ich daraus dann folgern, dass $ [mm] a_{n} [/mm] $ = $ [mm] 1+\bruch{1}{a_{n}-1} [/mm] $ ist?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:19 Mo 13.11.2006 | | Autor: | Brinki |
Hallo Oxford,
Ich nehme an du hast dich verschrieben:
> [mm]a_{n+1}:1+\bruch{1}{a_{n}}[/mm] kann ich daraus dann folgern,
> dass [mm]a_{n}[/mm] = [mm]1+\bruch{1}{a_{n}-1}[/mm] ist?
Es muss heißen, [mm] $a_n=1+\bruch{1}{a_{n-1}}$
[/mm]
Tatsächlich muss man sich bei "rekursiv definierten" Folgen "Schritt für Schritt" durchhangeln, um zu einem bestimmten Folgenglied zu gelangen.
Bei einer "explizit definierten" Folge ist es hingegen möglich, sofort jedes beligige Folgenglied zu bestimmen. (Beispiel n-te Dreieckszahl [mm] $d(n)=\bruch{1}{2}*n*(n+1)$
[/mm]
Grüße
Brinki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:29 Mo 13.11.2006 | | Autor: | Oxford |
ja, tut mir leid, hatte mich verschrieben.
zusätzlich zu dieser Angabe ist noch gegeben, dass [mm] a_{0}:=1 [/mm] ist. nun sollte ich zeigen, dass 1 [mm] \le a_{n} \le [/mm] 2 ist.
Lieg ich richtig, dass ich den limes der Folge [mm] a_{n} [/mm] berechnen muss. und dieser darf nicht größer 2 sein, oder?
Aber wie kann ich denn den limes einer Folge berechnen, wenn ich diese Folge doch gar nicht "richtig" gegeben habe?
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 22:06 Mo 13.11.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Oxford
Erstmal musst du beweisen, dass die Folge konvergiert, erst dann kannst du den GW a bestimmen (legal)
illegal kannst du ihn gleich bestimmen, denn wenn es ihn gibt, dann muss für ihn gelten a=1+1/a daraus [mm] a^2=a+1 [/mm] a=... Du siehst, es ist nicht 2.
Konvergenz benutzt du den Satz, eine nach oben beschr. monoton wachsende Folge konvergiert. entsprechend für fallen.
also 1. Schritt beschränkt, 2. Schritt monoton 3. Schritt GW!
Um nen Anfang zu finden rechne einfach mal die paar ersten Folgenglieder aus, dann siehst du wahrscheinlich direkt, warum sie >1 das gibts schon ohne Nachdenken wenn a1>0 und warum siw <2 sind. und ob fallend oder steigend.
Die Monotonie dann meistens mit vollst. Induktion.
Gruss leduart
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(Korrektur) Korrekturmitteilung  | | Datum: | 20:46 Di 14.11.2006 | | Autor: | ullim |
Hi leduart,
die Folge ist nicht monoton, wie Du geschrieben hast. Ich habe versucht, das in meinem Posting richtig zu stellen.
mfg ullim
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:44 Di 14.11.2006 | | Autor: | ullim |
Hi,
also, um den Beweis zu führen, das die gegebene Folge konvergent ist, ist der Weg über die Beschränktheit und Monotonie der Folge der falsche Weg, da die Folge weder monoton wachsend noch monoton fallend ist, wie man durch ausrechnen der Folgenglieder leicht bestätigt.
Allerdings ist richtig, das die Folge beschränkt ist.
1) Da [mm] a_0=1 [/mm] ist, folgt [mm] a_1\ge{1} [/mm] und per Induktionsschritt ist auch [mm] a_{n+1}=1+\br{1}{a_n}\ge{1}
[/mm]
2) [mm] a_0\le{2} [/mm] und [mm] a_{n+1}=1+\br{1}{a_n}\le{2} [/mm] da [mm] a_n\ge{1} [/mm] gilt.
Damit ist die Beschränktheit bewiesen und es existiert ein Häufungspunkt. Man kann also versuchen, über die Gleichung
[mm] a=1+\br{1}{a} [/mm] die Lösung zu bestimmen. Das Ergebnis ist [mm] \br{1}{2}(1\pm\wurzel{5})
[/mm]
Das Ergebnis erinnert an die Fibonacci Folgen, die aus der gleichen erzeugenden Gleichung [mm] a^2-a-1=0 [/mm] bestimmt werden.
In der Tat erfüllt das Verhältnis von zwei aufeinander folgenden Fibonacci Zahlen die gegebene Rekursionsgleichung, weil
[mm] \br{f_{n+1}}{f_n}=1+\br{1}{\br{f_{n}}{f_{n-1}}} [/mm] gilt, wegen [mm] f_{n+1}=f_{n}+f_{n-1} [/mm] Also mit [mm] a_{n+1}=\br{f_{n+1}}{f_n} [/mm] die Gleichung
[mm] a_{n+1}=1+\br{1}{a_n} [/mm] gilt.
Die Fibnaccizahlen kann man explizit ausrechen, s. ![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Fibonacci-Folge
Es gilt [mm] f_{n+1}=\br{\Phi^{n+1}-\Psi^{n+1}}{\Phi-\Psi} [/mm] mit [mm] \Phi=\br{1+\wurzel{5}}{2} [/mm] und [mm] \Psi=\br{1-\wurzel{5}}{2}
[/mm]
Für [mm] a_{n+1} [/mm] gilt [mm] a_{n+1}=\Phi\cdot\br{1-\left(\br{\Psi}{\Phi}\right)^{n+1}}{1-\left(\br{\Psi}{\Phi}\right)^{n}}
[/mm]
Weil [mm] \br{\Psi}{\Phi}<{1} [/mm] gilt, folgt
[mm] \left|a_{n+1}-\Phi\right|=\Phi\cdot\left|\br{1-\left(\br{\Psi}{\Phi}\right)^{n+1}}{1-\left(\br{\Psi}{\Phi}\right)^n}-1\right|\le\epsilon [/mm]
wenn n groß genug ist.
Damit ist alles gezeigt, leider ist mir nicht leichteres eingefallen.
mfg ullim
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