Rekursionsverfahren < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:07 Mo 16.03.2009 | | Autor: | ar2 |
| Aufgabe | Für das Verhältnis der Diagonale eines Quadrates zu dessen Seite kannten die Pythagoräer eine Folge von Näherungsbrüchen, die nach einem Rekursionsverfahren ermittelt wurden. Diese Theon v. Smyra (2. Jh.) zugeschriebene Folge lautet [mm] <\bruch{u_{n}}{v_{n}}> [/mm] mit [mm] u_{1}=1 [/mm]
[mm] v_{1}=1
[/mm]
[mm] u_{n}=u_{n-1} [/mm] + [mm] 2v_{n-1}
[/mm]
[mm] v_{n}=u_{n-1}+ v_{n-1}
[/mm]
Berechnen sie die ersten sechs elemente dieser folge. |
mach ich es richtig wenn ich rechne:
[mm] \bruch{u_{1}}{v_{1}}=\bruch{1_{1-1} + 2*1_{1-1}}{1_{1-1}+ 1_{1-1}}
[/mm]
[mm] \bruch{u_{1}}{v_{1}}=\bruch{1 + 2}{1+1}
[/mm]
[mm] \bruch{u_{1}}{v_{1}}=\bruch{3}{2}
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:15 Mo 16.03.2009 | | Autor: | fred97 |
> Für das Verhältnis der Diagonale eines Quadrates zu dessen
> Seite kannten die Pythagoräer eine Folge von
> Näherungsbrüchen, die nach einem Rekursionsverfahren
> ermittelt wurden. Diese Theon v. Smyra (2. Jh.)
> zugeschriebene Folge lautet [mm]<\bruch{u_{n}}{v_{n}}>[/mm] mit
> [mm]u_{1}=1[/mm]
> [mm]v_{1}=1[/mm]
> [mm]u_{n}=u_{n-1}[/mm] + [mm]2v_{n-1}[/mm]
> [mm]v_{n}=u_{n-1}+ v_{n-1}[/mm]
>
> Berechnen sie die ersten sechs elemente dieser folge.
> mach ich es richtig wenn ich rechne:
>
> [mm]\bruch{u_{1}}{v_{1}}=\bruch{1_{1-1} + 2*1_{1-1}}{1_{1-1}+ 1_{1-1}}[/mm]
>
> [mm]\bruch{u_{1}}{v_{1}}=\bruch{1 + 2}{1+1}[/mm]
>
> [mm]\bruch{u_{1}}{v_{1}}=\bruch{3}{2}[/mm]
Nein !! Es ist doch vorgegeben: [mm] u_1 [/mm] = [mm] v_1 [/mm] = 1
Die Rekursionen
$ [mm] u_{n}=u_{n-1} [/mm] $ + $ [mm] 2v_{n-1} [/mm] $
$ [mm] v_{n}=u_{n-1}+ v_{n-1} [/mm] $
brauchst Du erst für n>1.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:58 Mo 16.03.2009 | | Autor: | ar2 |
d.h.
[mm] \bruch{u_{2}}{v_{2}}=\bruch{1_{2-1}+2*1_{2-1}}{1_{2-1}+1_{2-1}}=\bruch{3_{1}}{2_{1}}
[/mm]
ist das so richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:19 Mo 16.03.2009 | | Autor: | glie |
> d.h.
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> [mm]\bruch{u_{2}}{v_{2}}=\bruch{1_{2-1}+2*1_{2-1}}{1_{2-1}+1_{2-1}}=\bruch{3_{1}}{2_{1}}[/mm]
>
> ist das so richtig?
>
Hallo,
im Prinzip ja, jetzt wendest du die Rekursion richtig an, aber die Schreibweise mit den Indices an den Zahlen ist doch sehr "ungewöhnlich"
(vorsichtig ausgedrückt  )
Schreibe doch besser:
[mm] \bruch{u_2}{v_2}=\bruch{u_{2-1}+2*v_{2-1}}{u_{2-1}+v_{2-1}}=\bruch{u_1+2*v_1}{u_1+v_1}=\bruch{1+2*1}{1+1}=\bruch{3}{2}
[/mm]
Damit haben wir
[mm] u_2=3
[/mm]
[mm] v_2=2
[/mm]
Nächster Schritt:
[mm] \bruch{u_3}{v_3}=\bruch{u_2+2*v_2}{u_2+v_2}=...
[/mm]
Gruß Glie
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:13 Mo 16.03.2009 | | Autor: | ar2 |
aha, DANKE!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:07 Mo 16.03.2009 | | Autor: | ar2 |
für [mm] u_{2} [/mm] nehme ich 2?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:14 Mo 16.03.2009 | | Autor: | fred97 |
Nein.
glie hat es Dir doch vorgemacht:
Damit haben wir
$ [mm] u_2=3 [/mm] $
$ [mm] v_2=2 [/mm] $
FRED
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