Rekursionsgleichung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:35 Sa 08.04.2006 | | Autor: | Jacek |
| Aufgabe | Folge ( [mm] x_{i}) [/mm] mit i [mm] \in \IN [/mm] (inkl. 0)! von komplexen Zahlen erfülle für i [mm] \ge [/mm] 0 die lineare Rekursionsgleichung:
[mm] x_{i+2} [/mm] = [mm] ax_{i} [/mm] + [mm] bx_{i+1}
[/mm]
mit komplexen Zahlen a,b und mit a [mm] \not= [/mm] 0. Wir bilden das Polynom
f = 1 - b t - a [mm] t^{2} [/mm] .
Sei
f = (1 - ut) (1 - vt)
mit komplexen Zahlen u und v.
->a) sei u [mm] \not= [/mm] v. Dann gilt:
[mm] x_{i} [/mm] = [mm] c_{1} u^{i}+ c_{2} v^{i}
[/mm]
mit geeigneten [mm] c_{1}, c_{2}. [/mm] Ist k < m und [mm] u^{m-k} \not= v^{m-k} [/mm] , so ist x durch die Vorgabe von [mm] x_{k}, x_{m} [/mm] eindeutig bestimmt. Insbesondere gilt:
[mm] c_{1} [/mm] = [mm] \bruch{x_{1} - vx_{0}}{u - v} [/mm] und
[mm] c_{2} [/mm] = [mm] \bruch{ux_{0} - x_{1}}{u - v}. [/mm] |
Hallo Leute,
ich muss ein Seminar halten über Warteschlangen.
Das hier ist der Beginn, bei dem ich starke Probleme habe. Es ist aus einem Buch, worüber der Vortrag sein soll.
Könnte mir vielleicht bitte jemand sagen, wie ich auf:
[mm] x_{i} [/mm] = [mm] c_{1} u^{i}+ c_{2} v^{i} [/mm] komme.
Sowie dann auf [mm] c_{1} [/mm] = [mm] \bruch{x_{1} - vx_{0}}{u - v} [/mm] und
[mm] c_{2} [/mm] = [mm] \bruch{ux_{0} - x_{1}}{u - v} [/mm] ?
Könnte mir bitte jemand helfen?
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Stimmen rekursiv definierte Folgen in den Startwerten wie auch der Rekursionsbeziehung überein, so müssen sie gleich sein. Ich würde daher zunächst
[mm]y_k = c_1 u^k + c_2 v^k \, , \ \ k \geq 0[/mm]
scheinbar ohne Zusammenhang mit [mm]x_k[/mm] definieren und versuchen nachzuweisen, daß sowohl
[mm]y_{k+2} = a y_k + b y_{k+1} \ \ (k \geq 0)[/mm]
als auch
[mm]y_0 = x_0 \, , \ y_1 = x_1[/mm]
gilt. Dann folgt [mm]y_k = x_k[/mm] für alle [mm]k[/mm]. (Der Buchstabe [mm]i[/mm] für den Folgenindex ist übrigens unglücklich gewählt. Verwechselungsgefahr mit der imaginären Einheit!)
Fangen wir mit dem ersten an. Die rechte Seite wird gemäß Definition ersetzt:
[mm]a y_k + b y_{k+1} = a \left(c_1 u^k + c_2 v^k \right) + b \left(c_1 u^{k+1} + c_2 v^{k+1} \right) = c_1 u^k (a+bu) + c_2 v^k (a+bv)[/mm]
Wenn es jetzt gelingt, nachzuweisen, daß [mm]a+bu = u^2[/mm] und [mm]a+bv = v^2[/mm] gilt, dann kann man oben weiterrechnen und erhält den Term
[mm]c_1 u^{k+2} + c_2 v^{k+2} = y_{k+2}[/mm]
Jetzt sind aber [mm]a,b,u,v[/mm] nicht unabhängig voneinander, sondern über die Polynombeziehung
[mm]1 - bt - at^2 = (1 - ut)(1 - vt)[/mm]
voneinander abhängig. Ausmultiplizieren der rechten Seite liefert [mm]1 - (u+v)t + uvt^2[/mm], und ein Koeffizientenvergleich mit der linken Seite zeigt:
[mm]b = u+v[/mm] und [mm]a = -uv[/mm]
Diese Gleichungen werden jetzt bei den folgenden Rechnungen verwendet:
[mm]a + bu = -uv + (u + v)u = u^2[/mm]
[mm]a + bv = -uv + (u + v)v = v^2[/mm]
Und genau das hatte oben beim Beweis der Rekursionsbeziehung noch gefehlt. Damit gehorchen die Folgen [mm](x_k)_{k \geq 0}[/mm] und [mm](y_k)_{k \geq 0}[/mm] derselben Rekursionsbeziehung.
Jetzt fehlt noch der Nachweis [mm]y_0 = x_0[/mm] und [mm]y_1 = x_1[/mm]. Für beliebige [mm]c_1,c_2[/mm] ist das wahrscheinlich falsch. Aber in der Aufgabe heißt es ja, wie du [mm]c_1,c_2[/mm] wählen sollst, damit das richtig wird. Überprüfe, ob es damit geht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:04 So 09.04.2006 | | Autor: | Jacek |
Das werde ich probieren.
Wirklich vielen, vielen Dank. Vor allem wegen den ganzen Formeln, die man mit der Mathebank erstellen muss...
Danke.
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