Rekursionsformel einer Funktio < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Die Rekursionsformel
[mm] f(n,m)=\begin{cases} m, & \mbox{für } n \mbox{ =0} \\ n, & \mbox{für } m \mbox{ =0} \\ f(n-1,m-1) +1, & \mbox{sonst} \end{cases}
[/mm]
definiert genau eine Funktion f:N²->N. Zeigen sie ihre Behauptung durch Induktion. |
Also ich habe jetzt schon ewig herumpobiert aber ich sehe einfach nicht welche Funktion hier gefragt sein soll. am besten geht es mit f(n,m)=|m-n| aber da bekomm ich das dumme +1 nicht her.
kann mir da bitte jemand helfen wie man auf diese funktion kommen soll. oder sieht das jemand gleich??
lg Mike
|
|
| |
|
Hallo Mike,
ob das jemand sieht oder nicht, ist doch nicht wichtig - es geht doch darum, wie man eine solche ("die"?) Funktion findet, wenn man es nicht sieht.
Sei also z=f(x,y) nach der vorliegenden Definition und [mm] x,y,z\in\IN.
[/mm]
> [mm]f(n,m)=\begin{cases} m, & \mbox{für } n \mbox{ =0} \\ n, & \mbox{für } m \mbox{ =0} \\ f(n-1,m-1) +1, & \mbox{sonst} \end{cases}[/mm]
Nebenbei: es muss gelten [mm] m,n\in\IN_{\red{0}} [/mm] !!
Für x=0 folgt f(x,y)=f(0,y)=y und für y=0 folgt f(x,y)=f(x,0)=x.
Die Schnittebenen x=0 und y=0 zeigen also Ursprungsgeraden.
Nehmen wir einmal die Ebene x=y zum Vergleich. Sei x=y=a; dann ist f(x,y)=f(a,a). Für a=0 ist f(a,a)=0, für f=n ist f(a,a)=f(n,n)=2n-1.
Ein unschönes Ergebnis. Das ist weitestgehend eine Gerade, aber f(0,0) stört...
Wie steht es mit x=1? f(1,y)=y
...und weiter: f(a,y)=y+a-1 für [mm] a>0\in\IN
[/mm]
Da die Funktion x,y-symmetrisch ist, gilt das Entsprechende für y=1 bzw. y=a.
Ab hier empfiehlt sich, über partielle Ableitungen nachzudenken. Sie sind offenbar nur linear, so dass die gesuchte Funktion im schlimmsten Fall so aussieht:
[mm] f(n,m)=an^2m^2+bn^2m+cn^2+dnm^2+enm+fn+g
[/mm]
Nun sind nur noch die sieben Parameter a bis g zu bestimmen. Dafür dürften sieben Punkte genügen; vielleicht sind aber n=0 und m=0 gesondert zu betrachten.
Dafür geht ab hier eine systematische Vorgehensweise! Findest Du sie?
> definiert genau eine Funktion f:N²->N. Zeigen sie ihre
> Behauptung durch Induktion.
> Also ich habe jetzt schon ewig herumpobiert aber ich sehe
> einfach nicht welche Funktion hier gefragt sein soll.
Nicht probieren - aktiv suchen (früher auch "Rechnen" genannt  )
> am besten geht es mit f(n,m)=|m-n| [mm] \red{??}
[/mm]
> aber da bekomm ich das
> dumme +1 nicht her.
> kann mir da bitte jemand helfen wie man auf diese funktion
> kommen soll. oder sieht das jemand gleich??
>
> lg Mike
Grüße
reverend
|
|
|
|
