Rekursionsformel Integral < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:33 Fr 04.06.2010 | | Autor: | Mimuu |
| Aufgabe | Rekursionsformel für Berechung folgenden Integrals für n [mm] \in \IN \cup{0}
[/mm]
[mm] A_{n}:= \integral_{0}^{\pi}{x^{n} cos(ax)dx} [/mm] für a [mm] \in \IR [/mm] |
Kann mir jemand vielleicht einen Tipp geben, wie man an die Aufgabe rangeht. Weil ich habe eine Aufgaben solchen Typus noch nie gesehen.
Danke:)
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Hallo Mimuu!
Wende hier partielle Integration an. Ziel ist es, dass Du anschließend ein Integral mit einer geringeren x-Potenz hast.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:59 Fr 04.06.2010 | | Autor: | Mimuu |
ich hab jetzt partielle Integration durchgeführt. aber das sin/cos verschwindet dennoch nicht...
ich komme an der stelle nicht weiter
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Hallo,
sin und cos werden auch nicht verschwinden. Du möchtest doch eine Rekursionsformel, also das gleiche Integral mit einer geringeren Potenz von x.
Wähle zuerst einmal [mm] u=x^n [/mm] und $ v'=cos(a*x) $
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:14 Fr 04.06.2010 | | Autor: | Mimuu |
habe ich gemacht, dann steht:
[mm] \bruch{1}{a}sin(ax)x^{n}-\integral_{\pi}^{0}{\bruch{1}{a}sin(ax)*nx^{n-1}dx}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{a}sin(ax)x^{n} [/mm] habe ich ausgewertet an den grenzen /pi und 0. --> der ganze term fällt raus. somit steht nur noch
[mm] -\integral_{\pi}^{0}{\bruch{1}{a}sin(ax)*nx^{n-1}dx}
[/mm]
ist das dann schon die lösung?
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Hallo,
die Integrationsgrenzen gehen von 0 bis [mm] \pi [/mm] und nicht [mm] \pi [/mm] bis 0 .
Eine Rekursionsformel sie meistens so aus:
[mm] a_n=a_{n-1}+a_{n-2}
[/mm]
Du möchtest jetzt also das gleiche Integral nochmal auf der rechten seite haben.
Wende also die partielle Integration nochmal an.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:27 Fr 04.06.2010 | | Autor: | Mimuu |
habe ich gemacht. dann steht:
[mm] -\bruch{1}{a}\integral_{0}^{\pi}{sin(ax)*n*x^{n-1}dx}
[/mm]
partielle Integration ergibt dann:
[mm] -\bruch{1}{a}*[-\bruch{1}{a}cos(ax)*n*x^{n-1}-\integral_{0}^{\pi}{}{-\bruch{1}{a}cos(ax)*(n-1)*x^{n-2}dx}
[/mm]
passt das so??? bin ich dann fertig?
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Hallo,
du hast da bei der Integration irgendwo ein n unterschlagen:
[mm] \integral{\bruch{1}{a}*n*x^{n-1}sin(a*x)dx}=\bruch{n}{a}*\integral{x^{n-1}*sin(a*x)dx}.
[/mm]
So jetzt lass die partielle Integration auf das letzte Integral los und vergiss nicht den Faktor davor wieder mit reinzunehmen.
Ich denke du kannst das auch einfach in deiner Lösung verbessern.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:41 Fr 04.06.2010 | | Autor: | Mimuu |
[mm] \bruch{n}{a}\integral_{0}^{\pi}{sin(ax)\ x^{n-1}dx} [/mm]
part. integriert ergibt bei mir:
[mm] \bruch{n}{a}[{x^{n-1}*\bruch{1}{a}*cos(ax)} -\bruch{1}{(n-1)*a}*\integral_{0}^{\pi}{x^{n-2}cos(ax)dx}]
[/mm]
das ist meine lösung! stimmt das so? bin ich jetzt fertig? bzw. was fehlt noch?
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Hallo Mimuu,
> [mm]\bruch{n}{a}\integral_{0}^{\pi}{sin(ax)\ x^{n-1}dx}[/mm]
>
> part. integriert ergibt bei mir:
>
> [mm]\bruch{n}{a}[{x^{n-1}*\bruch{1}{a}*cos(ax)}[/mm]
Und das hier in den Grenzen $x=0$ und [mm] $x=\pi$
[/mm]
> [mm] -\bruch{1}{(n-1)*a}[/mm]
Wie kommt das $(n-1)$ in den Nenner?
> [mm] *\integral_{0}^{\pi}{x^{n-2}cos(ax)dx}][/mm]
>
> das ist meine lösung! stimmt das so? bin ich jetzt fertig?
> bzw. was fehlt noch?
Wo steht deine Rekursionsformel?
Ich erhalte nach zweimaliger partieller Integration:
[mm] $\underbrace{\int\limits_{0}^{\pi}{x^n\cos(ax) \ dx}}_{=A_n}=\ldots=\underbrace{\frac{n}{a^2}\cdot{}\left[x^{n-1}\cos(ax)\right]_0^{\pi}}_{\text{Grenzen einsetzen und ausrechnen}} [/mm] \ - \ [mm] \frac{n(n-1)}{a^2}\cdot{}\underbrace{\int_0^{\pi}{x^{n-2}\cos(ax) \ dx}}_{=A_{n-2}}$
[/mm]
Ohne Gewähr, hab's nur auf dem Schmierblatt schnell überschlagen modulo Rechenfehler.
Rechne also nochmal in Ruhe nach, und rechne insbesondere den "mittleren" Teil mal aus, dann kannst auch eine Rekursion angeben ...
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:02 Fr 04.06.2010 | | Autor: | Mimuu |
vielen dank. ich werde es nochmal in ruhe nachrechnen und bei weiteren fragen mich nochmal melden.
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