Rekursionsformel Binomialzahle < Kombinatorik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:36 Sa 10.12.2011 | | Autor: | Jack159 |
| Aufgabe | Es soll bewiesen werden:
[mm] \vektor{n \\ k}=\vektor{n-1 \\ k-1}+\vektor{n-1 \\ k} [/mm] |
Hallo,
Ich habe diese Aufgabe aus einem Mathebuch, indem sie bereits vorgerechnet steht (hier hab ichs nochmal abgetippt). Allerdings verstehe ich die meisten Rechenschritte nicht...
[mm] \vektor{n \\ k}=\vektor{n-1 \\ k-1}+\vektor{n-1 \\ k}
[/mm]
[mm] =\bruch{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}+\bruch{(n-1)!}{k!(n-k-1)!} [/mm] Wo kommt hier die "-1" beim 2. Bruch im Nenner her?
[mm] =\bruch{(n-1)!k+(n-1)!(n-k)}{k!(n-k)!} [/mm] Was wurde hier gemacht? Nur der HN gebildet oder auch spezielle Kombinatorikregeln angewandt? Kann diesen Schritt nicht nachvollziehen...
[mm] =\bruch{(n-1)!(k+n-k)}{k!(n-k)!} [/mm] Dort verstehe ich auch nicht, wie man auf diesen Zähler kommt...
[mm] =\bruch{(n-1)!n}{k!(n-k)!} [/mm] Verstehe ich.
[mm] =\bruch{n!}{k!(n-k)!} [/mm] Wieso verschwindet die "(n-1)!" aus dem Zähler und warum wird das "n" im Zähler zu "n!"?
= [mm] \vektor{n \\ k}
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:54 Sa 10.12.2011 | | Autor: | luis52 |
Moin,
[mm] $(n-1)!n=[1\cdot2\cdot\ldots\cdot(n-2)\cdot(n-1)]n=n!$.
[/mm]
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:08 Sa 10.12.2011 | | Autor: | Jack159 |
Hallo luis52,
Danke, das erklärt schonmal eine meiner Fragen ;)
Kann mir bitte noch jemand bei den restlichen Fragen weiterhelfen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:29 Sa 10.12.2011 | | Autor: | luis52 |
> Es soll bewiesen werden:
>
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> [mm]\vektor{n \\ k}=\vektor{n-1 \\ k-1}+\vektor{n-1 \\ k}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}+\bruch{(n-1)!}{k!(n-k-1)!}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Wo kommt hier die "-1" beim 2. Bruch im Nenner her?
Nach der Definition $\binom{a}{b}=\frac{a!}{b!(a-b)!)$. Setze $a=n-1_$ und $b=k_$.
>
> [mm]=\bruch{(n-1)!k+(n-1)!(n-k)}{k!(n-k)!}[/mm] Was wurde hier
> gemacht? Nur der HN gebildet.
So ist es.
>
> [mm]=\bruch{(n-1)!(k+n-k)}{k!(n-k)!}[/mm] Dort verstehe ich auch
> nicht, wie man auf diesen Zähler kommt...
Klammere $(n-1)!$ aus.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:15 So 11.12.2011 | | Autor: | Jack159 |
> > [mm]\vektor{n \\ k}=\vektor{n-1 \\ k-1}+\vektor{n-1 \\ k}[/mm]
> >
> > [mm]=\bruch{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}+\bruch{(n-1)!}{k!(n-k-1)!}[/mm]
> > Wo kommt hier die "-1" beim 2. Bruch im Nenner her?
>
> Nach der Definition [mm]\binom{a}{b}=\frac{a!}{b!(a-b)!)[/mm]. Setze
> [mm]a=n-1_[/mm] und [mm]b=k_[/mm].
>
Ok, 2. Bruch verstanden, jetzt verstehe ich aber den 1. Bruch nicht mehr...
Betrachten wir jetzt mal nur noch den 1. Bruch bzw. den 1. Teil dieser Formel (den rest verstehe ich jetzt):
Es gilt ja: [mm] \vektor{n-1 \\ k-1}=\bruch{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}
[/mm]
Nach der von dir oben genannten vorgehensweise, komme ich aber auf etwas anderes. Hier mein Rechenweg dazu:
[mm] \vektor{n-1 \\ k-1}
[/mm]
n=n-1
k=k-1
Wir ersetzen n=n-1 und k=k-1 nun in der Standart-Binomialkoeffizientformel und erhalten:
[mm] \bruch{(n-1)!}{(k-1)!(n-k-1-1)!}
[/mm]
[mm] =\bruch{(n-1)!}{(k-1)!(n-k-2)!}
[/mm]
Ich erhalte also im Nenner in der letzten Klammer noch "-2", was ja anscheinend falsch ist?! Wo liegt mein Denkfehler? Hab einfach ganz stur n=n-1 und k=k-1 in die Standartformel eingesetzt...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:26 So 11.12.2011 | | Autor: | luis52 |
>
> > > [mm]\vektor{n \\ k}=\vektor{n-1 \\ k-1}+\vektor{n-1 \\ k}[/mm]
>
> > >
> > > [mm]=\bruch{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}+\bruch{(n-1)!}{k!(n-k-1)!}[/mm]
> > > Wo kommt hier die "-1" beim 2. Bruch im Nenner her?
> >
> > Nach der Definition [mm]\binom{a}{b}=\frac{a!}{b!(a-b)!)[/mm]. Setze
> > [mm]a=n-1_[/mm] und [mm]b=k_[/mm].
> >
>
> Ok, 2. Bruch verstanden, jetzt verstehe ich aber den 1.
> Bruch nicht mehr...
> Betrachten wir jetzt mal nur noch den 1. Bruch bzw. den 1.
> Teil dieser Formel (den rest verstehe ich jetzt):
> Es gilt ja: [mm]\vektor{n-1 \\ k-1}=\bruch{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}[/mm]
Moin,
$a=n-1$, $b=k-1$:
[mm] $\binom{a}{b}=\frac{a!}{b!(a-b)!}=\frac{(n-1)!}{(k-1)!((n-1)-(k-1))!}=\frac{(n-1)!}{(k-1)!((n-k)!}$.
[/mm]
Vermutlich hasst du das Minuszeichen vor der Klammer falsch aufgeloest.
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:32 So 11.12.2011 | | Autor: | Jack159 |
> Vermutlich hasst du das Minuszeichen vor der Klammer falsch
> aufgeloest.
Daran hats gelegen ;)
Danke dir vielmals !
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