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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:49 Do 05.05.2016 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Wir haben eine Rekursion der Gestalt:
[mm] u_{k+1}=f(u_k) [/mm] mit k [mm] \in \mathbb{N}. f:X\rightarrow [/mm] X stetig.
Dh. [mm] u_k= f^{k}(u_0) [/mm] wenn [mm] f(f^{k-1}(x))=f^{k}(x), f^{0}(x)=x
[/mm]
Definition: Ein Fixpunkt [mm] \overline{u} [/mm] heißt stabil,wenn für jedes [mm] \epsilon>0 [/mm] ein [mm] \delta>0 [/mm] existiert, sodass für alle [mm] u_0 [/mm] aus dem Zustandsraum mit [mm] |u_0 [/mm] - [mm] \overline{u}|<\delta [/mm] gilt, dass [mm] |f^k(u_0) [/mm] - [mm] \overline{u}| [/mm] < [mm] \epsilon, [/mm] k [mm] \ge [/mm] 0. Ein Fixpunkt, der nicht stabil ist heißt instabil.
Definition: Ein Fixpunkt [mm] \overline{u} [/mm] heißt asymptotisch stabil wenn ein [mm] \delta>0 [/mm] existiert,so dass für alle [mm] u_0 [/mm] aus dem Zustandsraum mit [mm] |u_0-\overline{u}|<\delta, [/mm] gilt, dass [mm] \lim_{k\rightarrow \infty} u_k=\overline{u}.
[/mm]
[mm] (u_k [/mm] := [mm] f^{k}(u_0)) [/mm] |
Frage 1)
EDIT: [mm] u_{k+1}= u_k [/mm] als konstante Folge mit dem Fixpunkt [mm] \overline{u} [/mm] ist stabil aber nicht asymptotisch stabil. Da ja [mm] \epsilon [/mm] in der Definition von stabil fix ist.
Also stabil [mm] \not\Rightarrow [/mm] asymptotisch stabil.
Nun meine Frage: Gilt asymptotisch stabil [mm] \Rightarrow [/mm] stabil?
Mich stört in der definition von stabil, dass [mm] |f^k(u_0)- \overline{u}|< \epsilon [/mm] für ALLE k [mm] \ge [/mm] 0.
Frage 2)
Wie ist das z.B für [mm] u_{k+1}=u_k (1+u_k) [/mm] in [0,1] und [mm] \overline{u}=0?
[/mm]
Ich vermute die Rekursion ist beim Fixpunkt 0 instabil. Diese Vermutung hab ich durch einer Skizze gewonnen.
ZZ.: [mm] \exists \epsilon>0, \exists [/mm] k [mm] \in \mathbb{N}: \forall \delta>0 \exists u_0 \in [/mm] [0,1] mit [mm] |u_0|<\delta [/mm] sodass [mm] |f^{k}(u_0)|>\epsilon
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Sa 07.05.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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