www.vorhilfe.de
- Förderverein -
Der Förderverein.

Gemeinnütziger Verein zur Finanzierung des Projekts Vorhilfe.de.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Mitglieder · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status VH e.V.
  Status Vereinsforum

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Suchen
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Folgen und Reihen" - Reihenwert
Reihenwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Reihenwert: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:43 Mo 03.05.2010
Autor: SnafuBernd

Aufgabe
Berechnen Sie Sie die Reihenwerte von :
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{k + 1}{k!} [/mm]

Hi,

[mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{k + 1}{k!} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{k}{k!} [/mm] + [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{k!} [/mm]
in meiner Vorlesung steht das [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{k} [/mm] divergiert, das würde ja heißen das die Reihe aus der Aufgabe auch divergiert, jedoch verstehe ich das nicht, den [mm] \bruch{1}{k} [/mm] ist eine Nullfolge, d.h. die Reihe [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{k} [/mm]  müsste konvergieren?

Snafu

        
Bezug
Reihenwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:03 Mo 03.05.2010
Autor: steppenhahn

Hallo,

> Berechnen Sie Sie die Reihenwerte von :
>  [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{k + 1}{k!}[/mm]
>  Hi,
>  
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{k + 1}{k!}[/mm] =
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{k}{k!}[/mm] + [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{k!}[/mm]

Der Ansatz ist schonmal gut!
Ich rate allerdings dazu, vor dem Auseinanderziehen der Summe einmal den Summanden k = 0 rauszuholen:

[mm] $\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{k + 1}{k!} [/mm] = 1+ [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{k + 1}{k!}$ [/mm]

Du kannst dann bei der ersten Summe oben kürzen: [mm] $\frac{k}{k!} [/mm] = [mm] \frac{1}{(k-1)!}$. [/mm]
(Dieser Ausdruck macht natürlich nur Sinn, wenn k bei 1 anfängt, deswegen haben wir das vorher aus der Summe rausgezogen).

Erinnere dich nun an die e-Funktion, und insbesondere an [mm] $e^{1} [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}$... [/mm]

> in meiner Vorlesung steht das [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{k}[/mm]
> divergiert, das würde ja heißen das die Reihe aus der
> Aufgabe auch divergiert,

Wieso? Ich sehe nirgends diese Reihe!

>  jedoch verstehe ich das nicht, den
> [mm]\bruch{1}{k}[/mm] ist eine Nullfolge, d.h. die Reihe
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{k}[/mm]  müsste konvergieren?

Dass die Reihenglieder (also bei dir [mm] \frac{1}{k}) [/mm] eine Nullfolge bilden, ist ein notwendiges Kriterium dafür, dass die Reihe überhaupt konvergieren kann! Es reicht aber nicht aus, um zu garantieren, dass die Reihe konvergiert.

Also: Es gibt Reihen (sogar sehr viele!), deren Reihenglieder zwar eine Nullfolge bilden, die aber nicht konvergieren. Zum Beispiel eben die harmonische Reihe.

Grüße,
Stefan

Bezug
                
Bezug
Reihenwert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:15 Mo 03.05.2010
Autor: SnafuBernd

Hi,

ok damit kann ich was anfangen:
[mm] \summe_{k=0}^n \bruch{k + 1}{k!} [/mm] = 1 +  [mm] \summe_{k=1}^n \bruch{k}{k!} [/mm] + [mm] \summe_{k=1}^n \bruch{1}{k!} [/mm] = 1+ [mm] \summe_{k=1}^n \bruch{1}{(k-1)!} [/mm] + [mm] \summe_{k=0}^n \bruch{1}{k!} [/mm] - 1 = [mm] \summe_{k=0}^{n-1} \bruch{1}{k!} [/mm] + [mm] \summe_{k=0}^{n} \bruch{1}{k!} [/mm] --->2e , k--> [mm] \infty [/mm]

Snafu

Bezug
                        
Bezug
Reihenwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:25 Mo 03.05.2010
Autor: steppenhahn

Hallo,

> Hi,
>  
> ok damit kann ich was anfangen:
>  [mm]\summe_{k=0}^n \bruch{k + 1}{k!}[/mm] = 1 +  [mm]\summe_{k=1}^n \bruch{k}{k!}[/mm]
> + [mm]\summe_{k=1}^n \bruch{1}{k!}[/mm] = 1+ [mm]\summe_{k=1}^n \bruch{1}{(k-1)!}[/mm]
> + [mm]\summe_{k=0}^n \bruch{1}{k!}[/mm] - 1 = [mm]\summe_{k=0}^{n-1} \bruch{1}{k!}[/mm]
> + [mm]\summe_{k=0}^{n} \bruch{1}{k!}[/mm] --->2e , k--> [mm]\infty[/mm]

[ok]

Grüße,
Stefan

Bezug
                
Bezug
Reihenwert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:29 Mo 03.05.2010
Autor: fencheltee


> Hallo,
>  
> > Berechnen Sie Sie die Reihenwerte von :
>  >  [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{k + 1}{k!}[/mm]
>  >  Hi,
>  >  
> > [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{k + 1}{k!}[/mm] =
> > [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{k}{k!}[/mm] + [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{k!}[/mm]
>
> Der Ansatz ist schonmal gut!
>  Ich rate allerdings dazu, vor dem Auseinanderziehen der
> Summe einmal den Summanden k = 0 rauszuholen:

hallo, bei uns in der mathe-vorlesung wurde gesagt, dass man unendliche summen nicht einfach auseinanderziehen darf, was ja hier passiert.
unter welcher vorraussetzung darf ich das denn trotzdem machen?


gruß tee

Bezug
                        
Bezug
Reihenwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:32 Mo 03.05.2010
Autor: schachuzipus

Hallo fencheltee,

> > Hallo,
>  >  
> > > Berechnen Sie Sie die Reihenwerte von :
>  >  >  [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{k + 1}{k!}[/mm]
>  >  >  Hi,
>  >  >  
> > > [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{k + 1}{k!}[/mm] =
> > > [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{k}{k!}[/mm] + [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{k!}[/mm]
> >
> > Der Ansatz ist schonmal gut!
>  >  Ich rate allerdings dazu, vor dem Auseinanderziehen der
> > Summe einmal den Summanden k = 0 rauszuholen:
>  hallo, bei uns in der mathe-vorlesung wurde gesagt, dass
> man unendliche summen nicht einfach auseinanderziehen darf,
> was ja hier passiert.
>  unter welcher vorraussetzung darf ich das denn trotzdem
> machen?

Das geht hier so schön, weil beide Teilsummen/Teilreihen absolut konvergent sind ...

>  
>
> gruß tee


Gruß

schachuzipus

Bezug
                        
Bezug
Reihenwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:36 Di 04.05.2010
Autor: fred97


> > Hallo,
>  >  
> > > Berechnen Sie Sie die Reihenwerte von :
>  >  >  [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{k + 1}{k!}[/mm]
>  >  >  Hi,
>  >  >  
> > > [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{k + 1}{k!}[/mm] =
> > > [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{k}{k!}[/mm] + [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{k!}[/mm]
> >
> > Der Ansatz ist schonmal gut!
>  >  Ich rate allerdings dazu, vor dem Auseinanderziehen der
> > Summe einmal den Summanden k = 0 rauszuholen:
>  hallo, bei uns in der mathe-vorlesung wurde gesagt, dass
> man unendliche summen nicht einfach auseinanderziehen darf,
> was ja hier passiert.
>  unter welcher vorraussetzung darf ich das denn trotzdem
> machen?

Sind [mm] \summe_{i=1}^{\infty}a_i [/mm] und [mm] \summe_{i=1}^{\infty}b_i [/mm]  beide konvergent, so ist auch [mm] \summe_{i=1}^{\infty}(a_i+b_i) [/mm]  konvergent und es gilt:

            [mm] \summe_{i=1}^{\infty}(a_i+b_i) [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{\infty}a_i +\summe_{i=1}^{\infty}b_i [/mm]

FRED



>  
>
> gruß tee


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
ev.vorhilfe.de
[ Startseite | Mitglieder | Impressum ]