Reihenkreise im Winkelfeld < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:48 Di 17.10.2006 | | Autor: | daylight |
| Aufgabe | Im Winkelfeld eines 60°-Winkels liegen fünf Kreise, die sich gegenseitig berühren und die Schenkel des Winkels als gemeinsame Tangente haben.
Berechne die Gesamtfläche für die fünf Kreise für r1=r
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Ich bin ein bisschen hilflos bei dieser Aufgabe,
ich habe mir überhlebt, ob die Steigung (tan60°) etwas mit dem q (geometrische Folgekonstante) zu tun haben kann.
Kann es sein dass die nach Strahlensatz Bezug aufeinander haben?
Falls nicht, wie kriege ich dann raus, wieviel mal größer die Kreise jeweils werden?
Ich hoffe, ihr könnt mir weiterhelfen.
Danke!
Lisa
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:21 Di 17.10.2006 | | Autor: | hase-hh |
moin tageslicht - zu dieser stunde!!,
wenn ich mir die aufgabe korrekt veranschaulicht habe, müßten die mittelpunkte der fünf kreise auf der winkelhalbierenden liegen.
ja, die strahlensätze könnten m.E. hier hilfreich sein.
muss ins bett!
lg
wolfgang
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:09 Mi 18.10.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo lisa
Strahlensatz ist gut, und Winkelfkt kann man benutzen muss aber nicht, da sich alles in halben gleichseitigen Dreiecken abspielt. Denk dran, der Radius ist senkrecht auf der Seite. Damit solltest dus rauskriegen. Vielleicht ist 3 ja auch deine Glückszahl?
Übrigens, die linke Figur ist wohl gemeint, die rechte aber auch ne Lösung des Problems!
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruss leduart
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:55 Mi 18.10.2006 | | Autor: | hase-hh |
moin,
was meinst du mit "halben gleichseitigen dreiecken"? bisher habe ich nur rechtwinklige dreiecke erkannt.
ich verstehe die aufgabe so, dass beide geraden tangenten an den jeweiligen kreis sein müssen?!
meine ideen (nur linke figur!):
sin 30°= [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
sin [mm] \alpha [/mm] = [mm] \bruch{Gegenkathete}{Hypotenuse}
[/mm]
sin [mm] \alpha [/mm] = [mm] \bruch{r_{1}}{b+r_{1}}
[/mm]
ich teile also die hypotenuse in zwei strecken b und [mm] r_{1}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2} [/mm] = [mm] \bruch{r_{1}}{b+r_{1}}
[/mm]
[mm] b+r_{1} [/mm] = [mm] 2r_{1}
[/mm]
[mm] b=r_{1}
[/mm]
für den zweiten kreis gilt entsprechend
d.h. meine hypotenuse besteht aus [mm] b+2r_{1}+r_{2}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2} [/mm] = [mm] \bruch{r_{2}}{b+2r_{1}+r_{2}}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2} [/mm] = [mm] \bruch{r_{2}}{r_{1}+2r_{1}+r_{2}}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2} [/mm] = [mm] \bruch{r_{2}}{3r_{1}+r_{2}}
[/mm]
[mm] 3r_{1}+r_{2} [/mm] = [mm] 2r_{2}
[/mm]
[mm] r_{2}=3r_{1}
[/mm]
und da ist dann schon die gesetzmäßigkeit...
zur sicherheit noch schnell den ansatz für den dritten kreis:
meine hypotenuse besteht hier aus [mm] b+2r_{1}+2r_{2}+r_{3}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2} [/mm] = [mm] \bruch{r_{3}}{b+2r_{1}+2r_{2}+r_{3}}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2} [/mm] = [mm] \bruch{r_{3}}{r_{1}+2r_{1}+2*(3r_{1})+r_{3}} [/mm] bzw. [mm] \bruch{1}{2} [/mm] = [mm] \bruch{r_{3}}{3r_{1}+2r_{2}+r_{3}}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2} [/mm] = [mm] \bruch{r_{3}}{9r_{1}+r_{3}} [/mm] bzw. [mm] \bruch{1}{2} [/mm] = [mm] \bruch{r_{3}}{r_{2}+2r_{2}+r_{3}}
[/mm]
[mm] 9r_{1}+r_{3} [/mm] = [mm] 2r_{3} [/mm] bzw. [mm] 3r_{2}+r_{3} [/mm] = [mm] 2r_{3} [/mm]
[mm] 9r_{1} [/mm] = [mm] r_{3} [/mm] bzw. [mm] 3r_{2}= r_{3}
[/mm]
Gibt es noch einen einfacheren Weg?
gruss
wolfgang
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:43 Mi 18.10.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Wolfgang.
Dein rechtw. Dreieck ist mein halbes Gleichseitiges. Deshalb braucht man keinen TR oder Winkelfkt. sondern sieht direkt : Abstand Winkelspitze zum Mittelpunkt ist 2r. Das gilt für jeden eingeschriebenen Kreis.
Wenn sich dann noch 2 Kreise r, R berühren ist 3*r*R=2R und damit R=3r, für beliebige r, deshalb auch für alle n Kreise!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:38 Do 19.10.2006 | | Autor: | hase-hh |
moin leduart,
vielen dank für deine antwort. ich habe stundenlang gerätselt was du mit dem gleichseitigen dreieck (drei gleichlange seiten; 3 winkel á 60°) gemeint hast, und glaube jetzt die lösung gefunden zu haben.
das ganze ist deshalb für mich - und viele andere - nicht so einfach, weil du mit der konstruktion dieses gleichseitigen dreieck die planfigur überschritten hast, denke ich.
das gleichseitige dreieck befindet sich nicht innerhalb des winkelfeldes, sondern zum teil innerhalb und zum teil außerhalb des winkelfeldes.
viele grüße
wolfgang
p.s. gibt es vielleicht irgendein buch für dummies, wie man sich geometrische zusammenhänge klar machen kann, eine denkschulung in geometrie?
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