Reihenkonvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:01 Mo 23.02.2009 | | Autor: | Hanz |
Hallo,
folgende Reihe soll auf Konvergenz überprüft werden:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{n!}{n^n} [/mm] Das sieht mir ziemlich stark nach Quotientenkriterium aus:
[mm] \bruch{a_{n+1}}{a_n} [/mm] = [mm] \bruch{\bruch{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}}{\bruch{n!}{n^n}} [/mm] = [mm] \bruch{(n+1)! * n^n}{(n+1)^{n+1} * n!} [/mm] = [mm] \bruch{(n+1) * n^n}{(n+1)^n * (n+1) * n!} [/mm] = [mm] \bruch{n^n}{(n+1)^n} [/mm] = [mm] (\bruch{n}{n+1})^n [/mm] = [mm] (\bruch{1}{1+\bruch{1}{n}})^n \to [/mm] 1 für n [mm] \to \infty
[/mm]
Nun weiss man ja nicht, ob die Reihe divergiert oder konvergiert, da es ja gegen 1 läuft... was muss ich hier am Besten machen, um eine Aussage über die Konvergenz der reihe zu erhalten?
Mfg, Hanz
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Hallo Hanz,
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{n!}{n^n}[/mm] Das sieht mir ziemlich
> stark nach Quotientenkriterium aus:
>
> [mm]\bruch{a_{n+1}}{a_n}[/mm] =
> [mm]\bruch{\bruch{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}}{\bruch{n!}{n^n}}[/mm] =
> [mm]\bruch{(n+1)! * n^n}{(n+1)^{n+1} \red{* n!}}[/mm] = [mm]\bruch{(n+1) * n^n}{(n+1)^n * (n+1) * n!}[/mm]
> = [mm]\bruch{n^n}{(n+1)^n}[/mm] = [mm](\bruch{n}{n+1})^n[/mm] [mm] =\cdots
[/mm]
gut umgeformt - das rote n! ist überflüssig, weil schon verrechnet, kommt aber auch dann nicht mehr vor. Ein Schreibfehler also.
Aber dann:
> [mm](\bruch{n}{n+1})^n[/mm] = [mm](\bruch{1}{1+\bruch{1}{n}})^n \to[/mm] 1 für n [mm]\to \infty[/mm]
Woher weißt Du das denn?
Ich weiß dies: [mm] (\bruch{n}{n+1})^n=(1-\bruch{1}{n+1})^n \to \bruch{1}{e} [/mm] für [mm] n\to\infty
[/mm]
> Nun weiss man ja nicht, ob die Reihe divergiert oder
> konvergiert, da es ja gegen 1 läuft... was muss ich hier am
> Besten machen, um eine Aussage über die Konvergenz der
> reihe zu erhalten?
>
> Mfg, Hanz
Und nun?
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:22 Mo 23.02.2009 | | Autor: | Hanz |
Achso, dann hab ich [mm] (\bruch{n}{n+1})^n [/mm] falsch umgeformt >.<
Aber [mm] \bruch{1}{e} [/mm] < 1, also ist die Reihe konvergent.
Richtig dann?
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Hallo Hanz,
Deine Umformung stimmte, aber der Grenzwert 1 nicht. Solche Terme sind immer verdächtig - in der Klammer geht der Wert gegen 1, aber der Exponent gegen Unendlich. Es ist oft mühsam, herauszufinden, was überwiegt, und häufig gibt es einen Grenzwert ungleich 1, manchmal aber auch keinen.
Für [mm] n\to\infty [/mm] geht
[mm] \left(1+\bruch{1}{n}\right)^n\to{e}
[/mm]
[mm] \left(1+\bruch{1}{2n}\right)^n\to \wurzel{e}
[/mm]
[mm] \left(1+\bruch{1}{n^2}\right)^n\to{1}
[/mm]
[mm] \left(1+\bruch{1}{\wurzel{n}}\right)^n\to\infty
[/mm]
...um nur ein paar Beispiel zu nennen.
Grüße,
reverend
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