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Reihenkonvergenz: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 13:50 So 25.01.2009
Autor: rororo18

Aufgabe
Welche der folgenden unendlichen Reihen divergiert oder konvergiert?
(iii) [mm] \summe_{n=1}^{\infty}(\wurzel[n]{a}-1) [/mm] für reelles a>0
(Anleitung: Man beweise zunächst, dass für [mm] \a>0 [/mm] und [mm] n\to\infty [/mm] gilt: [mm] n(\wurzel[n]{a}-1)\to\log(a) [/mm] )

Hallo,

bei dieser Aufgabe hänge ich schon seit einiger Zeit. Ich kann nicht mal das in der Anleitung das beweisen. Und was mir die Anleitung für die Reihe bringt weiß ich leider auch nicht genau.
Nach Recherche kam ich dadrauf:

[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}n(\wurzel[n]{a}-1)=\limes_{n\rightarrow\infty}n(1-\bruch{1}{\wurzel[n]{a}}) [/mm]

Wie ich da den Grenzwert log(a) rausbekomme weiß ich jedoch nicht.

Hat man dies dann bewiesen, kann man dann die Die Reihe mit [mm] \summe_{n=1}^{\infty}n(\wurzel[n]{a}-1) [/mm] abschätzen?

Gruß
rororo

        
Bezug
Reihenkonvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:00 So 25.01.2009
Autor: schachuzipus

Hallo rororo,

> Welche der folgenden unendlichen Reihen divergiert oder
> konvergiert?
>  (iii) [mm]\summe_{n=1}^{\infty}(\wurzel[n]{a}-1)[/mm] für reelles
> a>0
>  (Anleitung: Man beweise zunächst, dass für [mm]\a>0[/mm] und
> [mm]n\to\infty[/mm] gilt: [mm]n(\wurzel[n]{a}-1)\to\log(a)[/mm] )
>  Hallo,
>  
> bei dieser Aufgabe hänge ich schon seit einiger Zeit. Ich
> kann nicht mal das in der Anleitung das beweisen. Und was
> mir die Anleitung für die Reihe bringt weiß ich leider auch
> nicht genau.
>  Nach Recherche kam ich dadrauf:
>  
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}n(\wurzel[n]{a}-1)=\limes_{n\rightarrow\infty}n(1-\bruch{1}{\wurzel[n]{a}})[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)


>  
> Wie ich da den Grenzwert log(a) rausbekomme weiß ich jedoch
> nicht.

Halte dich direkt an den Tipp und forme etwas um:

$n\cdot{}\left(\sqrt[n]{a}-1\right)=\frac{\sqrt[n]{a}-1}{\frac{1}{n}$

Das strebt nun bei direktem Grenzübergang n\to\infty gegen den unbestimmten Ausdruck $\frac{0}{0}$

Also ran mit der Regel von de l'Hôpital

Schreibe vllt. $\sqrt[n]{a}$ um in $a^{\frac{1}{n}}=e^{\frac{1}{n}\cdot{}\ln(a)}$

>  
> Hat man dies dann bewiesen, kann man dann die Die Reihe mit
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}n(\wurzel[n]{a}-1)[/mm] abschätzen?

[keineahnung]

Das weiß ich im Moment (noch ?) nicht, ich werde aber drüber nachdenken, ich stelle die Frage also erstmal auf teilweise beantwortet ;-)

>  
> Gruß
>  rororo

LG


schachuzipus

Bezug
                
Bezug
Reihenkonvergenz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:50 So 25.01.2009
Autor: rororo18

Ah danke. Ich hab wieder was beim l'Hospital für mich rausgefunden, sonst hätte ich bis unendliche abgeleitet ;)
So hier der Beweis:
[mm] n*(\wurzel[n]{a}-1)=\bruch{\wurzel{n}{a}-1}{\bruch{1}{n}} [/mm]
[mm] f(n)=\wurzel[n]{a}-1 [/mm] ; [mm] g(n)=\bruch{1}{n} [/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f(n)=\limes_{n\rightarrow\infty}g(n)=0 [/mm]
[mm] f'(n)=-\bruch{log(a)\wurzel[n]{a}}{n^{2}} [/mm]
[mm] g'(n)=-\bruch{1}{n^{2}} [/mm]
[mm] \bruch{f'(n)}{g'(n)}=(-\bruch{log(a)\wurzel[n]{a}}{n^{2}})(-n^{2})=log(a)\wurzel[n]{a} [/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}log(a)\wurzel[n]{a}=log(a) [/mm]


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Reihenkonvergenz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:45 So 25.01.2009
Autor: Moun10

Hab mir auch mal Gedanken gemacht und bin zu folgendem Ergebinis (eigentliche Aufgabe) gekommen:


Hat man gezeigt, dass [mm] n*(\wurzel[n]{a}-1) [/mm] gegen ln(a) konvergiert so gilt offensichtlich die Ungleichung:


[mm] n*(\wurzel[n]{a}-1) \ge [/mm] log(a)

Dann einfach beide Seiten durch n teilen und man sieht direkt, dass man die Divergenz der Reihe durch die divergente Minorante [mm] \summe_{i=1}^{inf} [/mm] 1/n zeigen kann.


Hoffe ich konnte weiterhelfen!


Bezug
                                
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Reihenkonvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:49 So 25.01.2009
Autor: rororo18

Also es würde die ganze Sache sehr einfach machen, Moun10.
Aber kann man das so allgemein sagen?  Ich meine das als Ungleichung auszudrücken
[mm] a_{n} \ge [/mm] Grenzwert bzw. [mm] \le [/mm] Grenzwert

Hab das noch niergends gesehen. Ich bin aber auch ein Anfänger in Sachen Mathe.

Bezug
                                        
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Reihenkonvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:03 So 25.01.2009
Autor: Moun10

Ich bin auch ein Anfänger um das mal vorweg zu sagen.

Allgemein kann man das denke ich nicht sagen, aber in diesem Fall müsste das schon stimmen.

Ich hab mir das z.B. für a=2 überlegt. Dann strebt die Folge [mm] n*(\wurzel[n]{2}-1) [/mm] gegen ln(2).
Jetzt kann man sich ja z.B. en Zahlenstrahl aufmalen und die ersten Glieder der Folge berechnen. Man sieht dass jeder Wert - egal welches n man einsetzt- größer/gleich ln(2) ist.

Deswegen würde es mich doch sehr wundern wenn die Ungleichung in diesem Fall nicht stimmen würde...

Bezug
                                        
Bezug
Reihenkonvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:51 Mo 26.01.2009
Autor: fred97


> Also es würde die ganze Sache sehr einfach machen, Moun10.
>  Aber kann man das so allgemein sagen?  Ich meine das als
> Ungleichung auszudrücken
> [mm]a_{n} \ge[/mm] Grenzwert bzw. [mm]\le[/mm] Grenzwert
>  

Das ist im allgemeinen nicht richtig

Aber es gilt das folgende:

Konvergiert [mm] (a_n) [/mm] gegen a>0, so gibt es ein [mm] n_0 [/mm] mit : [mm] a_n [/mm] > a/2 für n> [mm] n_0 [/mm]
(warum  ???)

FRED



> Hab das noch niergends gesehen. Ich bin aber auch ein
> Anfänger in Sachen Mathe.


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