Reihenkonverg. in abhän. von x < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:31 Sa 28.01.2012 | | Autor: | Studi91 |
| Aufgabe | Für welche Werte von x [mm] \in \IR [/mm] konvergiert die Reihe
[mm] \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{1}{n^2}x^n [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich habe Probleme bei dieser Aufgabe. Und zwar weiß ich nicht so richtig wie ich da ran gehen soll. Ich habs schon mit dem Wurzel- und Quotientenkriterium probiert, aber ich habe dann immer noch ein n im Therm stehen. x würde dann also auch von n abhängen. Ist dies möglich? Muss ich das ganze vielleicht abschätzen und somit n wegfallen lassen?
In einer Beispielaufgabe wurde auf eine Reihe das Wurzelkriterium angewandt, und da blieb dann kein n mehr übrig, also hatte x einen eindeutigen Wert.
Wäre für Hilfe dankbar,
Grüße
|
|
| |
|
Hallo Studi91,
> Für welche Werte von x [mm]\in \IR[/mm] konvergiert die Reihe
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty} \bruch{1}{n^2}x^n[/mm]
Steht da als Laufindex wirklich [mm]i[/mm] oder sollte das "n" lauten?
Ich gehe mal im weiteren von n aus ...
> Ich habe diese
> Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
>
> Hallo,
> ich habe Probleme bei dieser Aufgabe. Und zwar weiß ich
> nicht so richtig wie ich da ran gehen soll. Ich habs schon
> mit dem Wurzel- und Quotientenkriterium probiert, aber ich
> habe dann immer noch ein n im Therm stehen.
Das heißt "Term" ohne "h" !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Wie das? Du musst doch [mm]\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|[/mm] berechnen mit [mm]a_n=\frac{x^n}{n^2}[/mm]
> x würde dann
> also auch von n abhängen.
Nein!
> Ist dies möglich? Muss ich das
> ganze vielleicht abschätzen und somit n wegfallen lassen?
> In einer Beispielaufgabe wurde auf eine Reihe das
> Wurzelkriterium angewandt, und da blieb dann kein n mehr
> übrig, also hatte x einen eindeutigen Wert.
Zeige mal deine Rechnung mit dem QK, den richtigen Ansatz habe ich dir hingeschrieben.
Für die "Randpunkte" musst du durch Einsetzen in die Reihe separat auf Konvergenz prüfen.
Ansonsten hast du ja hier eine Potenzreihe vorliegen, für die es eigene Konvergenzkriterien gibt (in Anlehnung an das QK bzw. WK).
--> schlage das in deiner Vorlesungsmitschrift mal nach ...
>
> Wäre für Hilfe dankbar,
> Grüße
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:12 Sa 28.01.2012 | | Autor: | Studi91 |
Habe total vergessen, dass ich bei den Kriterien ja noch den Limes davor habe. Du kannst mich gerne steinigen ;)
Also dann habe ich:
[mm] \lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{\bruch{x^(n+1)}{(n+1)^2}}{\bruch{x^n}{n^2}}\right|=|\bruch{x^{(n+1)}*n^2}{x^n*(n+1)^2}|=|\bruch{x*n^2}{(n+1)^2}|=|x|
[/mm]
Muss ich hier noch explizit zeigen, dass [mm] \bruch{n^2}{(n+1)^2} [/mm] gegen 1 strebt?
Nun, die Reihe konvergiert, wenn |x|<1. Für die Randpunkte bedeutet das:
[mm] \bruch{\pm1^n}{n^2}, [/mm] für [mm] n\to\infty [/mm] 0
Beides ist eine Nullfolge, also konvergiert die Reihe auch für [mm] x=\pm1
[/mm]
Ist das alles so richtig?
|
|
|
| |
|
Hiho,
sieht soweit alles gut aus, bis auf:
> [mm]\bruch{\pm1^n}{n^2},[/mm] für [mm]n\to\infty[/mm] 0
> Beides ist eine Nullfolge, also konvergiert die Reihe auch
> für [mm]x=\pm1[/mm]
[mm] \bruch{1}{n} [/mm] ist auch eine Nullfolge, [mm] $\summe \bruch{1}{n}$ [/mm] konvergiert aber nicht im geringsten.
Die Begründung ist also Blödsinn (auch wenn die Kernaussage korrekt ist).
MFG,
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:25 Sa 28.01.2012 | | Autor: | Studi91 |
Stimmt. Da habe ich einen falschen Rückschluss des Trivialkriteriums gemacht.
|
|
|
|
