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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:14 Mi 03.06.2009 | | Autor: | idonnow |
| Aufgabe | Zeigen Sie mit Hilfe der vollständigen Induktion, dass
[mm] \sum_{k=1}^{n} k^2= [/mm] 1+ [mm] 2^2+....+n^2=\bruch{1}{3}n(n+ \bruch{1}{2}) [/mm] (n+1) |
Hallo Ihr Lieben!
Hier ist meine vollständige Induktion:
[mm] \sum_{k=1}^{n} k^2= [/mm] 1+ [mm] 2^2+....+n^2=\bruch{1}{3}n(n+ \bruch{1}{2}) [/mm] (n+1)
Induktionsbehauptung: A(n) gilt für alle [mm] n\in\IN
[/mm]
Indultionsanfang:A(n)=1
[mm] \sum_{k=1}^{1} 1^2= \bruch{1}{3}*1(1+ \bruch{1}{2}) [/mm] (1+1)
[mm] 1=\bruch{1}{3}(1+1+ \bruch{1}{2}+ \bruch{1}{2})
[/mm]
[mm] 1=\bruch{1}{3}(3)
[/mm]
1=1
Induktionsvoraussetzung: A(n) [mm] \to [/mm] A(n+1) für alle [mm] n\in\IN [/mm] gilt diese Implikation
[mm] \sum_{k=1}^{n+1} k^2=\bruch{1}{3}(n+1)(n+ \bruch{1}{2}+1) [/mm] (n+1+1)
[mm] Induktionsschritt:\sum_{k=1}^{n} k^2+(n+1)^2=\bruch{1}{3}(n+1)(n+ \bruch{1}{2}+1) [/mm] (n+1+1)
[mm] \sum_{k=1}^{n} k^2 [/mm] Laut [mm] Induktionsvoraussetzung=\bruch{1}{3}n(n+ \bruch{1}{2}) [/mm] (n+1)
[mm] Also:\bruch{1}{3}n(n+ \bruch{1}{2}) [/mm] (n+1) [mm] (n+1)^2= \bruch{1}{3}(n+1)(n+ \bruch{1}{2}+1) [/mm] (n+1+1)
[mm] (\bruch{1}{3}n^3+\bruch{1}{3}n^2+\bruch{1}{6}n^2+\bruch{1}{6}n+
[/mm]
[mm] n^2+2n+1)=(\bruch{1}{3}n^2+\bruch{1}{3}n+\bruch{1}{2}n+\bruch{1}{2})
[/mm]
(n+2)
[mm] \bruch{1}{3}n^3+1\bruch{1}{2}n^2+2\bruch{1}{6}n^n+1=\bruch{1}{3}n^3+1\bruch{1}{2}n^2+2\bruch{1}{6}n^n+1
[/mm]
Ist die Induktion richtig oder habe ich diese vollständig falsch gemacht?
Vielen Dank
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Hallo idonnow,
alles richtig, nur ganz am Ende sollte nicht [mm] n^n [/mm] vorkommen - das scheint mir aber auch eher ein Tippfehler zu sein.
Liebe Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:51 Mi 03.06.2009 | | Autor: | idonnow |
Stimmt. Es handelt sich hier um einen Tippfehler!
Lieben Dank
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