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| Aufgabe | Für welche streng monoton fallenden Folgen [mm] a_n [/mm] gilt ist
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}(log(x))^{n}*a_n=O(\wurzel{x}*log(x)) [/mm] |
Es wäre eigentlich schön, wenn man die Frage in eine Konvergenzfrage umwandeln könnte, aber da habe ich auch keine Idee, wie man das machen soll.
Als Ergebnis sollte jedenfalls einen einfache Bedingung für [mm] a_n [/mm] herauskommen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:17 Fr 11.02.2011 | | Autor: | fred97 |
> Für welche streng monoton fallenden Folgen [mm]a_n[/mm] gilt ist
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}(log(x))^{n}*a_n=O(\wurzel{x}*log(x))[/mm]
Die Landau Symbolik macht nur Sinn in Zusammenhang mit einem Grenzübergang .
Etwas verschweigst Du. x [mm] \to [/mm] 0 ? x [mm] \to \infty [/mm] ? ....
FRED
> Es wäre eigentlich schön, wenn man die Frage in eine
> Konvergenzfrage umwandeln könnte, aber da habe ich auch
> keine Idee, wie man das machen soll.
> Als Ergebnis sollte jedenfalls einen einfache Bedingung
> für [mm]a_n[/mm] herauskommen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:18 Fr 11.02.2011 | | Autor: | hawkingfan |
Ah, tschuldigung. Wir hatten immer [mm] x\to\infty [/mm] bei den Landau-Symbolen.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:54 Sa 26.02.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Für welche streng monoton fallenden Folgen [mm]a_n[/mm] gilt ist
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}(log(x))^{n}*a_n=O(\wurzel{x}*log(x))[/mm]
>
> Es wäre eigentlich schön, wenn man die Frage in eine
> Konvergenzfrage umwandeln könnte, aber da habe ich auch
> keine Idee, wie man das machen soll.
> Als Ergebnis sollte jedenfalls einen einfache Bedingung
> für [mm]a_n[/mm] herauskommen.
Nun, erstmal muss die Reihe ueberhaupt konvergieren. Dazu muss [mm] $a_n \ge [/mm] 0$ sein fuer alle $n$ und [mm] $\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_n} [/mm] = 0$ (warum?).
Dann kannst du [mm] $\log [/mm] x$ durch $y$ ersetzen, und erhaelst die Gleichung [mm] $\sum_{n=1}^\infty a_n y^n [/mm] = [mm] O(\exp(y/2) [/mm] y)$.
Damit dies der Fall ist, gibt es ein [mm] $y_0 [/mm] > 0$ und ein $C > 0$ mit [mm] $\sum_{n=1}^\infty a_n y^n \le [/mm] C [mm] \cdot \exp(y/2) [/mm] y$ fuer alle $y [mm] \ge y_0$.
[/mm]
Jetzt ist $C [mm] \exp(y/2) [/mm] y = [mm] \sum_{n=1}^\infty \frac{C}{2^{n-1} (n - 1)!} y^n$. [/mm] Es muss also [mm] $\sum_{n=1}^\infty a_n y^n \le \sum_{n=1}^\infty \frac{C}{2^{n-1} (n - 1)!} y^n$ [/mm] gelten fuer alle gross genugen $y$.
Kommst du damit weiter bzw. bekommst du damit eine Idee? Eine hinreichende Bedingung an die [mm] $a_n$ [/mm] kannst du damit sehr schnell finden...
LG Felix
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