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Reihen Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:51 Do 13.12.2007
Autor: Smex

Aufgabe
Welche der folgenden Reihen sind konvergent bzw. diverbent? Beweisen sie ihre Aussagen.

(a) [mm] \summe_{i=1}^{\infty}(-1)^n \bruch{\wurzel{n}}{n+2} [/mm]

(b) [mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{\wurzel{n}} [/mm]

(c) [mm] \summe_{i=1}^{\infty}(\bruch{1}{n} [/mm] + [mm] (-1)^n \bruch{1}{\wurzel{n}}) [/mm]

(d) [mm] \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{(n+1)^n}{n^n^+^1} [/mm]

Hi,  

Zu (a): reicht es, wenn ich da sage, dass die Reihe konvergent ist, falls [mm] \bruch{\wurzel{n}}{n+2} [/mm] eine monoton fallende Nullfolge ist und dass dies der Fall ist, weil (n+2) schneller gegen unendlich strebt als [mm] \wurzel{n}?? [/mm]

Kann mir zu den anderen vielleicht jemand nen Tipp geben??

Vielen Dank

Gruß Smex


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Reihen Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:00 Do 13.12.2007
Autor: leduart

Hallo
bei a besser durch [mm] \wurzel{n} [/mm] teilen und direkt zeigen, dass es ne Nullfolge ist!
bei b) ist leicht ne divergierend Minorante zu finden.
c) zeigen dass es ne alternierende Nullfolge ist.(auf Hauptnenner bringen)
d) durch [mm] n^n [/mm] kürze, dan Minorante finden!
Gruss leduart

Bezug
                
Bezug
Reihen Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:12 Do 13.12.2007
Autor: Smex

Was ist denn eine Minorante??

Gruß Smex

Bezug
                        
Bezug
Reihen Konvergenz: abgeschätzt
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:18 Do 13.12.2007
Autor: Loddar

Hallo Smex!


Unter einer Minoranten versteht man eine Vergleichsreihe, von der man weiß, dass sie divergiert und dass sie für für fast alle Folgenglieder kleiner ist als die zu untersuchende Reihe.

Man vergleicht also mit einer bekannten divergenten Reihe durch entsprechende Abschätzung.

[guckstduhier]  .  .  .  []Minoranten- und Majoranten-Kriterium


Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
Reihen Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:28 Do 13.12.2007
Autor: Smex

Nochmal zu (a). wie meinst du das mit dem durch [mm] \wurzel{n} [/mm] teilen?

zu (d) auch hier: wie willst du da durch [mm] n^n [/mm] kürzen??


Gruß Smex

Bezug
                        
Bezug
Reihen Konvergenz: Aufgabe a.)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:37 Do 13.12.2007
Autor: Loddar

Hallo Smex!


Vielleicht trifft es "durch [mm] $\wurzel{n}$ [/mm] kürzen" besser:
[mm] $$\bruch{\wurzel{n}}{n+2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\wurzel{n}}{\wurzel{n}*\left(\wurzel{n}+\bruch{2}{\wurzel{n}}\right)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{\wurzel{n}+\bruch{2}{\wurzel{n}}}$$ [/mm]

Gruß
Loddar


Bezug
                        
Bezug
Reihen Konvergenz: Aufgabe d.)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:39 Do 13.12.2007
Autor: Loddar

Hallo Smex!


[mm] $$\bruch{(n+1)^n}{n^{n+1}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{(n+1)^n}{n*n^n} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{n}*\left(\bruch{n+1}{n}\right)^n [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{n}*\left(1+\bruch{1}{n}\right)^n$$ [/mm]

Gruß
Loddar


Bezug
                                
Bezug
Reihen Konvergenz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:00 Do 13.12.2007
Autor: Smex

Achso ja vielen Dank!!

Gruß Smex

Bezug
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