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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:26 Do 10.11.2011 | | Autor: | Hans80 |
| Aufgabe | Folgendes Beispiel habe ich in einem Lehrbuch gefunden und verstehe einen Teil davon nicht:
Betrachted wird die Potenzreihe:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{2^k}{k^2}(z-1)^{2k} [/mm] |
Hallo!
Das Beispiel wird nun umgeschrieben zu:
[mm] a_{n}=\begin{cases} 0, & \mbox{für } n=0 \vee n=2k-1 \mbox{ k Element N } \\ \bruch{2^k}{k^2}, & \mbox{für } n=2k \mbox{ k Element N} \end{cases}
[/mm]
Ziel der Aufgabe ist es, zu zeigen, dass der Satz von Hadamard hier nicht anwendbar ist.
Leider verstehe ich schon nicht wie man denn die Reihe in [mm] a_{n} [/mm] aufteilt wie es eben gemacht wurde.
Also warum bekomme ich "0" für ungerade n und [mm] "\bruch{2^k}{k^2}" [/mm] für gerade n?
Hoffe mir kann da jemand weiterhelfen.
grüße
Hans
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:48 Do 10.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
es kommen doch nur gerade Exponenten von (z-1) vor, das kann man natürlich schreiben als [mm] 0+0*(z-1)^1+ a_2*(z-1)^2+0*(z-1)^3*...
[/mm]
und die summe fängt bei k=1 an also auch [mm] a_0=0
[/mm]
wozu diese Schreibweise nützt seh ich hier nicht, man könnte auch einfach substituieren [mm] w=(z-1)^2 [/mm] und hätte ne normale Reihe w
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:57 Do 10.11.2011 | | Autor: | Hans80 |
Ok, verstehe.
Ich kann also diesen Satz von Hadamard nicht anwenden, wenn nicht jede Potenz in der Potenzreihe vorkommt?
In diesen Fällen muss ich also meine Potenzfunktion mit in die Betrachtung einbeziehen?
Nur als Beispiel:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}2^{-k}*x^{k^2}
[/mm]
Hier erhalte ich dann also nur a1,a4,a9,a16,......
D.h. ich kann diesen Satz von Hadamart nicht anwenden.
Verwende ich nun das Wurzelkriterium, folgt:
[mm] \wurzel[k]{2^{-k}*x^{k^2}}=2^{-1}*x^{k} [/mm] ?
Hier habe ich jetzt aber noch ein k?
Wie würde ich denn hier den Konvergenzradius berechnen?
gruß Hans
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:53 Do 10.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
bei deinem [mm] a_kx^{2k} [/mm] ersetzt du durch [mm] a_ky^k [/mm] mit [mm] y=x^2 [/mm] bestimmst den Konvergenzradius R der y-reihe, der für x ist dann [mm] \wurzel{R}
[/mm]
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}2^{-k}*x^{k^2}[/mm]
Hast du dir das ausgedacht?
1. das x steht nie bei dem Konvergenzradius!
2. zu [mm] x^{k^2} [/mm] gehört zu [mm] 2^{-k} [/mm]
also brauchst du für 1/R [mm] \limsup(2^{-k}^{1/k^2}) [/mm] also [mm] \limsup 2^{-1/k} [/mm] und das ist, da der GW für k gegen [mm] \infty [/mm] existiert 1
Gruss leduart
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 23:02 Do 10.11.2011 | | Autor: | Hans80 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Erstmal danke für die Mühe!
> 1. das x steht nie bei dem Konvergenzradius!
> 2. zu x^{k^2} gehört zu 2^{-k}
> also brauchst du für 1/R limsup(2^{-k}^{1/k^2} also limsup
> 2^{-1/k) und das ist, da der GW für k gegen \infty
> existiert 1
Könntest du mir das noch genauer erklären? Kann mir aus der Antwort leider nicht viel herausziehen...
gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 Sa 12.11.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:50 Fr 11.11.2011 | | Autor: | fred97 |
Wenn Du auf
$ [mm] \summe_{k=1}^{\infty}2^{-k}\cdot{}x^{k^2} [/mm] $
Das Wurzekkriterium anwendest , bekommst Du:
[mm] \wurzel[k]{2^{-k}\cdot{}|x|^{k^2}}= \bruch{1}{2}|x|^k
[/mm]
Für |x|<1 gilt: [mm] \bruch{1}{2}|x|^k \to [/mm] 0 <1
Für |x|=1 gilt: [mm] \bruch{1}{2}|x|^k \to \bruch{1}{2}<1
[/mm]
Für |x|>1 gilt: [mm] \bruch{1}{2}|x|^k \to \infty
[/mm]
Also konvergiert $ [mm] \summe_{k=1}^{\infty}2^{-k}\cdot{}x^{k^2} [/mm] $ [mm] \gdw [/mm] |x| [mm] \le [/mm] 1
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:01 Fr 11.11.2011 | | Autor: | Hans80 |
Hallo Fred97!
Wiedermal danke für deine tolle Erklärung!
Wenn ich nun also den Konvergenzradius berechnen muss, macht das Quotientenkriterium in der Form R=lim [mm] |\bruch{a_n}{a_{n+1}}| [/mm] und das Wurzelkriterium in der Form [mm] R=\bruch{1}{lim \wurzel[n]{|a_{n}|}} [/mm] nur Sinn, wenn alle Potenzen der Potenzreihe vorkommen.
Liegt die Potenzreihe dergestalt vor, dass nur alle geraden,ungeraden, quadratischen,... Potenzen vorkommen, so muss man das [mm] (x-x_{0})^{...} [/mm] mit in die Betrachtung einbeziehen, so wie du es eben vorgemacht hast, oder?
> [mm][mm] \wurzel[k]{2^{-k}\cdot{}|x|^{k^2}}= \bruch{1}{2}|x|^k[/mm
[/mm]
Hier verwendest du die geometrische Reihe?
>
> Für |x|<1 gilt: [mm]\bruch{1}{2}|x|^k \to[/mm] 0 <1
>
> Für |x|=1 gilt: [mm]\bruch{1}{2}|x|^k \to \bruch{1}{2}<1[/mm]
>
> Für |x|>1 gilt: [mm]\bruch{1}{2}|x|^k \to \infty[/mm]
>
> Also konvergiert
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}2^{-k}\cdot{}x^{k^2}[/mm] [mm]\gdw[/mm] |x| [mm]\le[/mm] 1
>
> FRED
>
Hans
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:32 Sa 12.11.2011 | | Autor: | Hans80 |
Könnte mir das noch jemand bestätigen bzw. widerlegen was ich da geschrieben habe?
gruß
Hans
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Hallo,
> Wenn ich nun also den Konvergenzradius berechnen muss,
> macht das Quotientenkriterium in der Form R=lim
> [mm]|\bruch{a_n}{a_{n+1}}|[/mm] und das Wurzelkriterium in der Form
> [mm]R=\bruch{1}{lim \wurzel[n]{|a_{n}|}}[/mm] nur Sinn, wenn alle
> Potenzen der Potenzreihe vorkommen.
Genauer:
- Beim Wurzelkriterium hast du recht. (Bzw. etwas abgeschwächt: Es dürfen nur endlich viele Potenzen fehlen.)
- Beim zweiten Kriterium ist das Fehlen der Potenzen ok, wenn der Limes trotzdem existiert (also = 0 ist). Es gibt deswegen ja auch die allgemeine Formel von Cauchy-Hadamard zur Berechnung des Konvergenzradius, die immer gilt:
$R = [mm] \frac{1}{\limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|}}$.
[/mm]
> Liegt die Potenzreihe dergestalt vor, dass nur alle
> geraden,ungeraden, quadratischen,... Potenzen vorkommen, so
> muss man das [mm](x-x_{0})^{...}[/mm] mit in die Betrachtung
> einbeziehen, so wie du es eben vorgemacht hast, oder?
Genau. Fred benutzt aber nicht die beiden obigen Kriterien zur Bestimmung des Konvergenzradius, sondern er benutzt die Konvergenzkriterien für Reihen.
> > [mm]\wurzel[k]{2^{-k}\cdot{}|x|^{k^2}}= \bruch{1}{2}|x|^k[/mm[/mm]
> Hier verwendest du die geometrische Reihe?
Er benutzt das ![[]](/images/popup.gif) Wurzelkriterium. Deine Reihe hat die Form
[mm] $\sum_{k=0}^{\infty} a_k$ [/mm] mit [mm] $a_k [/mm] = [mm] 2^{-k}|k|^{k^2}$, [/mm] dann sagt das Wurzelkriterium
[mm] $\sqrt[k]{|a_k|} \to [/mm] q < 1$ [mm] ($k\to\infty$) $\Rightarrow$ [/mm] Reihe ist konvergent
[mm] $\sqrt[k]{|a_k|} \to [/mm] q > 1$ [mm] ($k\to\infty$) $\Rightarrow$ [/mm] Reihe ist divergent.
> Für |x|<1 gilt: [mm]\bruch{1}{2}|x|^k \to[/mm] 0 <1
>
> Für |x|=1 gilt: [mm]\bruch{1}{2}|x|^k \to \bruch{1}{2}<1[/mm]
>
> Für |x|>1 gilt: [mm]\bruch{1}{2}|x|^k \to \infty[/mm]
>
> Also konvergiert
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}2^{-k}\cdot{}x^{k^2}[/mm] [mm]\gdw[/mm] |x| [mm]\le[/mm] 1
Viele Grüße,
Stefan.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:34 Sa 12.11.2011 | | Autor: | Hans80 |
Hallo!
Danke für die Hilfe.
Das mit dem Wurzelkriterium war schon klar.
Die Sache mit der geometrischen Reihe bezog sich auf:
Also [mm] |x|^{k}
[/mm]
> > Hier verwendest du die geometrische Reihe?
>
>
> > Für |x|<1 gilt: [mm]\bruch{1}{2}|x|^k \to[/mm] 0 <1
> >
> > Für |x|=1 gilt: [mm]\bruch{1}{2}|x|^k \to \bruch{1}{2}<1[/mm]
> >
>
> > Für |x|>1 gilt: [mm]\bruch{1}{2}|x|^k \to \infty[/mm]
> >
> > Also konvergiert
> > [mm]\summe_{k=1}^{\infty}2^{-k}\cdot{}x^{k^2}[/mm] [mm]\gdw[/mm] |x| [mm]\le[/mm] 1
>
gruß
Hans
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Hallo,
> Hallo!
> Danke für die Hilfe.
> Das mit dem Wurzelkriterium war schon klar.
> Die Sache mit der geometrischen Reihe bezog sich auf:
> Also [mm]|x|^{k}[/mm]
Geometrische Reihe ist das nicht (das wäre etwas mit Aufsummieren), aber eben die Tatsache, dass [mm] $q^k \to [/mm] 0$ für $|q| < 1$, [mm] $q^k \to \infty$ [/mm] für $|q| > 1$.
Das hat keinen besonderen Namen.
Grüße,
Stefan
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