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| Aufgabe | | Die Reihe [mm] \summe_{i=0}^{\infty} \bruch{n}{n^3+1} [/mm] soll auf auf konvergenz untersucht werden. |
Ich habe das mit dem Quotientenkriterium versucht zu lösen:
[mm] |\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}|=|\bruch{n+1}{(n+1)^3+1}*\bruch{n^3+1}{n}| [/mm] < [mm] \bruch{(n+1)(n^2-n+1)(n+1)}{n(n+1)^3} =|\bruch{n^2-n+1}{n^2+1}| [/mm] < [mm] |\bruch{n^2}{n^2+1}| [/mm] < [mm] |\bruch{n^2}{n^2}|=1
[/mm]
Also konvergiert die Reihe.
Habe ich die Ungleichungen richtig aufgestellt? Hinter der ersten Abschätzung habe ich im Zähler eine Polynomdivision gemacht.
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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Hallo Big_Head78,
> Die Reihe [mm]\summe_{i=0}^{\infty} \bruch{n}{n^3+1}[/mm] soll auf
> auf konvergenz untersucht werden.
> Ich habe das mit dem Quotientenkriterium versucht zu
> lösen:
>
> [mm]|\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}|=|\bruch{n+1}{(n+1)^3+1}*\bruch{n^3+1}{n}|[/mm]
> < [mm]\bruch{(n+1)(n^2-n+1)(n+1)}{n(n+1)^3} =|\bruch{n^2-n+1}{n^2+1}|[/mm]
> < [mm]|\bruch{n^2}{n^2+1}|[/mm] < [mm]|\bruch{n^2}{n^2}|=1[/mm]
>
> Also konvergiert die Reihe.
Bei Verwendung des Quotientenkriteriums mußt Du den
Grenzwert für [mm]n \to \infty[/mm] berechnen.
Schätze die Reihe durch eine Reihe,
von der Du sicher weisst, daß sie konvergiert.
>
> Habe ich die Ungleichungen richtig aufgestellt? Hinter der
> ersten Abschätzung habe ich im Zähler eine
> Polynomdivision gemacht.
>
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
>
Gruss
MathePower
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ich habe jetzt:
[mm] \bruch{n}{n^3+1}<\bruch{1}{n^2} [/mm] ist Nullfolge also konvergiertr die Reihe nach majorantenkriterium.
Richtig so?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:47 Mi 16.02.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> ich habe jetzt:
>
> [mm]\bruch{n}{n^3+1}<\bruch{1}{n^2}[/mm] ist Nullfolge also
> konvergiertr die Reihe nach majorantenkriterium.
>
> Richtig so?
ja und nein. Es ist richtig, dass [mm] $\frac{n}{n^3+1} [/mm] < [mm] 1/n^2$ [/mm] und damit [mm] $(n/(n^3+1))_{n \in \IN}$ [/mm] eine Nullfolge ist. Damit weißt Du nun aber nur, dass
[mm] $$\sum_{n} \frac{n}{n^3+1}$$
[/mm]
eine für die Konvergenz notwendige Bedingung erfüllt. Oder anders gesagt:
Wir wissen nur, dass wir, falls wir die Divergenz
[mm] $$\sum_{n} \frac{n}{n^3+1}$$
[/mm]
erkennen sollten, dies jedoch nicht daraus folgt, dass
[mm] $$n/(n^3+1) \not\to 0\,.$$
[/mm]
(Erinnere Dich: Aus der Konvergenz von [mm] $\sum_n a_n$ [/mm] folgt [mm] $a_n \to 0\,,$ [/mm] aber aus [mm] $a_n \to [/mm] 0$ folgt -ohne weitere Untersuchung- GAR nichts über das Konvergenzverhalten von [mm] $\sum_n a_n\,.$
[/mm]
Beachte aber: Wegen Kontraposition ist
[mm] $$\sum_n a_n \text{ konvergent } \Rightarrow a_n \to [/mm] 0$$
gleichbedeutend mit
[mm] $$a_n \not\to [/mm] 0 [mm] \Rightarrow \sum_n a_n \text{ divergent}\,.$$)
[/mm]
Warum steht nun oben bei meiner Antwort trotzdem auch ein ja? Naja, einfach, weil man weiß (oder sich mit dem Cauchyschen Verdichtungssatz, oder mithilfe von [mm] $1/n^2 \le \frac{1}{n(n-1)}=\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$ [/mm] und "Ziehharmonikasummen" überlegen kann), dass
[mm] $$\sum_n 1/n^2$$
[/mm]
konvergiert. Daher zeigt Deine obige Abschätzung in Verbindung mit dem Majorantenkriterium die Konvergenz von
[mm] $$\sum_n n/(n^3+1)\,.$$
[/mm]
Beachte aber, dass das wirklich an der Konvergenz von [mm] $\sum_n 1/n^2$ [/mm] liegt, welche sich nicht nur daraus ergibt, dass [mm] $1/n^2 \to 0\,.$
[/mm]
Denn obwohl $1/n [mm] \to 0\,,$ [/mm] gilt trotzdem, dass [mm] $\sum_n [/mm] 1/n$ (bestimmt gegen [mm] $\infty$) [/mm] divergiert.
Gruß,
Marcel
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