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| Aufgabe | Untersuchen sie
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{-3n^2+2n+1}{8n^4+7n^3+n^2+10}
[/mm]
auf Konvergenz. |
Ich habe das mit dem Quotientenkriterium versucht und komme auf den GW 1, kann also nichts über die Konvergenz sagen. Das Wurzelkriterium habe ich noch nicht versucht, würde mich das denn zum Ziel führen?
Ih habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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> Untersuchen sie
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> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{-3n^2+2n+1}{8n^4+7n^3+n^2+10}[/mm]
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> auf Konvergenz.
> Ich habe das mit dem Quotientenkriterium versucht und
> komme auf den GW 1, kann also nichts über die Konvergenz
> sagen. Das Wurzelkriterium habe ich noch nicht versucht,
> würde mich das denn zum Ziel führen?
Hallo,
sollen wir den Vorkoster machen, damit Du Dich nicht am Kriterium vergiftest, oder was?
Ob ein Kriterium zum Ziel führt, merkt man ja am besten, indem man es probiert - auf die Gefahr hin, daß einem schlecht wird.
Ich selbst würd's hier eher mit dem Majorantenkriterium versuchen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:35 Mo 13.12.2010 | | Autor: | Big_Head78 |
So war das nicht gemeint, ich dachte halt wegen der ganzen Exponenten würde sich das Quotientenkriterium gut eigenen. Ich dachte, ich könnte dann gut kürzen. Hatte gedacht ich hätte einen Rechenfehler gemacht, oder das falsche Kriterium benutzt. Jetzt werde ich deinen Hinweis mal beachten.
Danke
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:10 Mo 13.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> Untersuchen sie
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> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{-3n^2+2n+1}{8n^4+7n^3+n^2+10}[/mm]
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> auf Konvergenz.
> Ich habe das mit dem Quotientenkriterium versucht und
> komme auf den GW 1, kann also nichts über die Konvergenz
> sagen. Das Wurzelkriterium habe ich noch nicht versucht,
> würde mich das denn zum Ziel führen?
Nein.
Es gilt folgender
SATZ: Sind alle [mm] a_n [/mm] > 0 und existiert der Grenzwert [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{a_{n+1}}{a_n}, [/mm] so ist [mm] (\wurzel[n]{a_n}) [/mm] konvergent und es gilt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{a_{n+1}}{a_n}= \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{a_n}
[/mm]
FRED
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> Ih habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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Habe den Ausdruck jetzt wie fiolgt zerlegt:
[mm] \bruch{-3n^2+2n+1}{8n^4+7n^3+n^2+10}=\bruch{1}{n^2}*\bruch{-3+\bruch{2}{n}+\bruch{1}{n^2}}{8+\bruch{7}{n}+\bruch{1}{n^2}+\bruch{10}{n^4}}<\bruch{1}{n^2}*q
[/mm]
für ein q [mm] \in \IR, q>\bruch{3}{8}, [/mm] da [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{-3+\bruch{2}{n}+\bruch{1}{n^2}}{8+\bruch{7}{n}+\bruch{1}{n^2}+\bruch{10}{n^4}}=-\bruch{3}{8}
[/mm]
Dann habe ich doch meine Majorante, oder?
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Hallo,
> Habe den Ausdruck jetzt wie fiolgt zerlegt:
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> [mm]\bruch{-3n^2+2n+1}{8n^4+7n^3+n^2+10}=\bruch{1}{n^2}*\bruch{-3+\bruch{2}{n}+\bruch{1}{n^2}}{8+\bruch{7}{n}+\bruch{1}{n^2}+\bruch{10}{n^4}}<\bruch{1}{n^2}*q[/mm]
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> für ein q [mm]\in \IR, q>\bruch{3}{8},[/mm] da
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{-3+\bruch{2}{n}+\bruch{1}{n^2}}{8+\bruch{7}{n}+\bruch{1}{n^2}+\bruch{10}{n^4}}=-\bruch{3}{8}[/mm]
>
> Dann habe ich doch meine Majorante, oder?
Ja, [mm]-\frac{3}{8}\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}[/mm] ist eine konvergente Vergleichsreihe
Aber das ist doch sehr umständlich:
Ich würde es einfacher so angehen:
Es ist ja mit [mm]\sum a_n[/mm] konvergent ja auch [mm]-\sum a_n[/mm] konvergent ...
Ziehe doch erstmal ein "-" aus der Reihe:
[mm]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{-3n^2+2n+1}{8n^4+7n^3+n^2+10}=-\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{3n^2-2n-1}{8n^4+7n^3+n^2+10}[/mm]
Nun kannst du doch den Bruch vergrößern, wenn du den Zähler vergrößerst und/oder den Nenner verkleinerst.
Beachte: es ist [mm]-2n-1<0[/mm] im Zähler, wie kannst du dort vergrößern?
Im Nenner stehen hinter dem [mm]8n^4[/mm] lauter positive Summanden, die kannst du alle auf einen Schlag wegschätzen ...
Damit hast du eine nette Majorante ...
Gruß
schachuzipus
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Habe deine Hinweise berücksichtigt und entsprechend abgeschätzt, ich komme dann wieder auf die selbe Majorante. Sollte das auch so sein, oder hätte ich noch etwas anderes als Ergebnis bekommen sollen?
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Hallo nochmal,
> Habe deine Hinweise berücksichtigt und entsprechend
> abgeschätzt, ich komme dann wieder auf die selbe
> Majorante. Sollte das auch so sein, oder hätte ich noch
> etwas anderes als Ergebnis bekommen sollen?
Offen gesagt, ist mir die 2.Zeile (bzw. die Begründung "für [mm]q>\frac{3}{8}[/mm], da [mm]\lim...=-\frac{3}{8}[/mm] ist") nicht so ganz einleuchtend ...
Die erste Zeile ist ja richtig und richtig ist auch, dass das ganze Ding [mm]<\frac{3}{8}\frac{1}{n^2}[/mm] ist, der "Restbruch" ist ja betraglich kleiner als [mm]\frac{3}{8}[/mm].
Ich hatte das "-" rausgezogen, um nur positive Summanden abschätzen zu müssen ...
Aber bei deiner Majorante [mm]\sum\frac{3}{8n^2}[/mm] gilt ja auch [mm]|a_n|\le b_n[/mm] ...
Also alles in Butter ...
Gruß
schachuzipus
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