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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:32 Mo 24.05.2010 | | Autor: | melisa1 |
| Aufgabe | Untersuchen Sie auf Konvergenz und berechnen Sie gegebenfalls den Reihenwert
(a) [mm] \summe_{n=5}^{\infty} \bruch{n+1}{n^2+3n+2}
[/mm]
(b) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{3^{(n+5)}^2}{11*2^3n}
[/mm]
(c) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n(n+1)(n+2)}
[/mm]
d) [mm] \summe_{n=2}^{\infty} \bruch {3^n+(-1)^n}{4^n} [/mm] |
Hallo,
bei a habe ich eine Minorante gefunden:
[mm] a_{n}=\bruch {n+1}{n^2+3n+2}=\bruch{1+\bruch{1}{n}}{n+3+\bruch{2}{n}} \ge \bruch{1}{n+3}> \bruch{1}{n}
[/mm]
bei der b wollte ich das Quotientenkrit. anwenden, jedoch glaube ich, dass ich irgendwas falsch mache:
[mm] |\bruch{3^n^2*3^6*11*2^{3n}}{3^n^2*3^{25}*11*2^{3n}*2^3}|=|\bruch{3^6}{3^{25}*2^3} [/mm] -->0 <1
bei der d habe ich das Wurzelkrit. angewendet
[mm] |\wurzel[n]{\bruch{3^n+(-1)^n}{4^n}}|=\bruch{3+(-1)}{4}=\bruch{1}{2}<1
[/mm]
stimmen meine Überlegungen?
Lg Melisa
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:35 Mo 24.05.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo melisa!
Die Idee mit der Minorante ist gut. Deine Ausführung / Deine Abschätzung jedoch nicht.
Bedenke, dass gilt:
[mm] $$n^2+3n+2 [/mm] \ = \ (n+1)*(n+2)$$
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:42 Mo 24.05.2010 | | Autor: | melisa1 |
Hallo,
ohw ja ich natürlich ist nicht [mm] \bruch{1}{n+3}> \bruch{1}{n}
[/mm]
ich habe jetzt:
[mm] a_{n}=\bruch {n+1}{n^2+3n+2}=\bruch{n+1}{(n+1)(n+2)}=\bruch{1}{n+2}
[/mm]
also ist die Reihe divergent, da sie sich nur im ersten Term von der harmonischen Reihe unterscheidet. Wir haben also eine Minorante gefunden.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:43 Mo 24.05.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Melisa!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Richtig.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:36 Mo 24.05.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo!
Hier ist (mir) unklar, worauf sich das Quadrat im Exponenten im Zähler genau bezieht.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:51 Mo 24.05.2010 | | Autor: | melisa1 |
sry hab die Klammer falsch geschrieben:
im Zähler steht [mm] (3^{n+5})^2
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:52 Mo 24.05.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Melisa!
Dann bedenke, dass gemäß  Potenzgesetz gilt:
[mm] $$\left(3^{n+5}\right)^2 [/mm] \ = \ [mm] 3^{(n+5)*2} [/mm] \ = \ [mm] 3^{2n+10}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:01 Mo 24.05.2010 | | Autor: | melisa1 |
also hätte ich dann:
[mm] |\bruch{3^{2n+12}*11*2^{3n}}{11*2^{3n}*2^3*3^{2n+10}}|=|\bruch{3^{2n}*3^{12}*11*2^{3n}}{11*2^{3n}*2^3*3^{2n}*3^{10}}|=\bruch{9}{8}<1
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:03 Mo 24.05.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Melisa!
Die Rechnung sieht nun ganz gut aus. Aber über das letzte Ungleichheitszeichen solltest Du nochmal nachdenken ...
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:06 Mo 24.05.2010 | | Autor: | melisa1 |
ohw ja da muss ein > hin also divergiert die Reihe :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:37 Mo 24.05.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo melisa!
Hier kann man eine Teleskopsumme konstruieren.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:17 Mo 24.05.2010 | | Autor: | melisa1 |
habe ich dann nur noch [mm] 1-\bruch{1}{(n+1)(n+2)} [/mm] stehen???
ok meine Überlegung oben ist falsch denn:
[mm] 1-\bruch{1}{6}+\bruch{1}{2}-\bruch{1}{12}....es [/mm] kürzt sich nix weg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:22 Mo 24.05.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Melisa!
Kannst Du nicht bitte auch noch einige Zwischenschritte posten?
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:31 Mo 24.05.2010 | | Autor: | melisa1 |
ich habe zwar Zwischenschritte aufgeschrieben, jedoch haben die mir gezeigt, dass meine Überlegung falsch war.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:15 Mo 24.05.2010 | | Autor: | melisa1 |
da ich noch nie eine Partialbruchzerlegung gemacht habe (und bis eben nicht wusste was das ist) schreibe ich mal lieber meine Schritte hier auf:
ich habe durch die p/q formel im nenner die nullstellen 2 und 1
daraus folgt: [mm] \bruch{A1}{x-2}+\bruch{A2}{x-1}
[/mm]
1=A1(x-1)+A2(x-2)=(A2+A1)*x(-1A2-2A1)
1=A2+A1
0=-1A2-2A1
durch einsetzen habe ich dann:
A1=-A2+1
0=-A2-2(-A2+1)
2=A2
A1=-1
daraus folgt [mm] \bruch{2}{x-2} +\bruch{-1}{x-1}
[/mm]
stimmt das?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:48 Mo 24.05.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
es geht doch um Aufgabe c)
da willst du doch [mm] \bruch{1}{n*(n+1)*(n+2)} =\bruch{a}{n}+\bruch{b}{n+1}+\bruch{c}{n+2} [/mm] schreiben.
Was soll hier irgendwo pq Formel und Nullstellen? die Nst des Nenners sind doch 0,-1,-2, ohne pq.
Wenn du die Zerlegung hast, musst du uns nicht fragen, sondern einfach die probe machen.
entweder wieder zu einem Bruch zusammenfassen, oder im Ergebnis für n nacheinander 1,2,3 einsetzen und die 2 Seiten vergleichen!
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:40 Mo 24.05.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo!
Du wendest hier die Wurzelrechnung falsch an. Du darfst nicht aus einer Summe einfach die Exponenten gegen die Wurzel "streichen".
Zerlege die Reihe in zwei Teilreihen mit:
[mm] $$\bruch {3^n+(-1)^n}{4^n} [/mm] \ = \ [mm] \bruch {3^n}{4^n}+\bruch {(-1)^n}{4^n} [/mm] \ = \ [mm] \left(\bruch {3}{4}\right)^n+\left(-\bruch {1}{4}\right)^n$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:47 Mo 24.05.2010 | | Autor: | melisa1 |
Kann ich hier dann die nte wurzel ziehen also
[mm] (\bruch{3}{4})+(-\bruch{1}{4})= [/mm] 1/2>1
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:50 Mo 24.05.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Melisa!
Nein, auch das sieht mir arg nach mathetischer Grausamkeit an der Wurzel aus.
Betrachte die beiden Teilreihen nunmehr separat.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:45 Mo 24.05.2010 | | Autor: | melisa1 |
[mm] (\bruch{3}{4})^n [/mm] strebt gegen unendlich
(- [mm] \bruch{1}{4})^n [/mm] strebt, wenn n gerade gegen unendlich, ansonsten gegen - unendlich
ich versteh nur nicht, warum sich das n nicht wegstreichen lässt in der Vorlesung hatten wir zum Beispiel:
[mm] \wurzel[n]{(2+\bruch{1}{k})^2}=2+1/k [/mm]
wo ist jetzt der unterschied?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:20 Mo 24.05.2010 | | Autor: | melisa1 |
beides strebt gegen 0 also ist die Reihe nicht divergent (Trivialkriterium)
Aber damit ist die Konvergenz noch nicht gezeigt oder? In meinem Buch steht, dass man mit diesem Satz die Divergenz nachweisen kann, aber nicht die Konv.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:51 Mo 24.05.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
kennst du denn die geometrische Reihen nicht??
dass die Glieder ne Nullfolge bilden ist eine NOTWENDIGE Bedingung für Konvergenz. wenn sie das nicht sind divergiert die Reihe garantiert. Wolltest du das ausdrücken?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:59 Mo 24.05.2010 | | Autor: | melisa1 |
Ja genau das wollte ich sagen, ich wusste nur nicht ob das reicht. Also wenn ich sage, dass die beiden Summanden jeweils gleich mit der geometrischen Reihe sind.
Das kann ich doch so sagen oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:09 Mo 24.05.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du drückst dich leider nicht sehr gut aus. Die Reihe d) ist die Summe 2 er konvergenter geometrischer Reihen, mit q<1 deshalb kannst du die Summe ausrechnen.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:14 Di 25.05.2010 | | Autor: | melisa1 |
ok habs jz danke :)
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