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| Aufgabe | Berechne
(1/1²) - (1/(1² + 2²)) + (1/(1² + 2²+3²) ) - (1/(1² + 2²+3² +4²) ) +-.....
Die Formel von Leibnitz darf ohne Beweis verwendet werden! |
Also ich steh heute total auf derLeitung und hab auch mit dem Bsp ein Problem!
Es wäre total super wenn mir da jemand helfen könnte.
lg Michael
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:21 Do 08.11.2007 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo Michael!
Sollst Du den Wert dieser unendlichen Reihe berechnen, oder die Reihe lediglich auf Konvergenz/Divergenz untersuchen?
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:07 Do 08.11.2007 | | Autor: | Mike_1988 |
Also ich sollte den Wert berechnen!
lg Michael
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Hallo,
> Berechne
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> (1/1²) - (1/(1² + 2²)) + (1/(1² + 2²+3²) ) - (1/(1² + 2²+3²
> +4²) ) +-.....
>
> Die Formel von Leibnitz darf ohne Beweis verwendet werden!
> Also ich steh heute total auf derLeitung und hab auch mit
> dem Bsp ein Problem!
>
> Es wäre total super wenn mir da jemand helfen könnte.
>
> lg Michael
erstmal musst du die summen im nenner in den griff bekommen. Fuer die summe der ersten n quadratzahlen gibt es eine nette formel, die man mit vollst. induktion beweist:
[mm] $\sum_{i=1}^n i^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
[/mm]
du hast also folgende reihe zu untersuchen
[mm] $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{6\cdot(-1)^{k+1}}{k(k+1)(2k+1)}$
[/mm]
das sieht stark nach einer teleskop-summe aus. Ich wuerde jetzt fuer diesen bruch eine partialbruchzerlegung durchfuehren. danach sollten sich die meisten summanden wegheben und nur eine leibnitz-reihe uebrigbleiben... 
gruss
matthias
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:01 Sa 10.11.2007 | | Autor: | Mike_1988 |
also ich habe das jetzt alles gemacht und es bleibt bei mir dann stehen nachdem ich k gegen unendlich hab laufen lassen:
S= 6 -24/3 +24/5 + 24/7 ......
mir ist klar dass die bruch therme die leibnitzreihe von zweiten glied weg sind. nur mein problem ist jetzt wie ich das anschreiben soll.
ich habe mir überlegt dass es eventuell 6 + [mm] 24*((\pi/4) [/mm] -1) ist?
lg Michael
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:44 Sa 10.11.2007 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo Mike!
Kannst Du vielleicht doch einige Zwischenschritte zur Partialbruchzerlegung sowie den entstehenden Einzelreihen posten. So ist das doch sehr schwer nachvollziehbar.
Prinzipiell sieht mir Dein Ergebnis nicht schlecht aus mit den Termen $6_$ und [mm] $\bruch{\pi}{4}$ [/mm] , aber ich erhalte da nicht dasselbe.
Gruß vom
Roadrunner
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also:
a/k + B/(k+1) + C/(2*k+1) = 6*(-1)^(k+1)
=>
k²*(2A+2b+C)+k*(3A+B+C) + A = 6*(-1)^(k+1)
=>
A= 6*(-1)^(k+1); B = 6*(-1)^(k+1); C = -24*(-1)^(k+1)
wenn ich dann die summe aussschreibe steht:
S=(6+3-24/3)+(-3-2+24/5)+(2+2/3 - 24/7)+......
.... (6/(k-1) + 6/k - (24/(2k-1)))+(-6/k - 6/(k+1) + 24/(2*k+1))
da bleibt dann stehen:
S= 6 - 6/(k+1) - 24/3 + 24/5+....
wenn k -> [mm] \infty
[/mm]
S= 6 + 24* (-1/3 + 1/5+....)
und die klammer ist doch [mm] \pi/4 [/mm] - 1 oder?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:40 Mo 12.11.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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