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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:56 So 29.05.2011 | | Autor: | dimi727 |
| Aufgabe | Untersuchen Sie die Existenz der beiden Grenzwerte und bestimmen Sie gegebenenfalls ihren Wert:
[mm] \limes_{m\rightarrow\infty}\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{m}{(m+n)*(m+n+1)} [/mm] |
Hallo Leude,
zur oberen Aufgabenstellung :
Ich weiß,dass [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{m}{(m+n)*(m+n+1)} [/mm] = [mm] \bruch{m}{m+1} [/mm] konvergiert, wie beweise ich das? Der limes von [mm] \bruch{m}{m+1} [/mm] ist 1, aber ich muss halt dadrauf kommen :)
Bin Dankbar für Tipps und Ratschläge!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:20 So 29.05.2011 | | Autor: | abakus |
> Untersuchen Sie die Existenz der beiden Grenzwerte und
> bestimmen Sie gegebenenfalls ihren Wert:
>
> [mm]\limes_{m\rightarrow\infty}\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{m}{(m+n)*(m+n+1)}[/mm]
> Hallo Leude,
>
> zur oberen Aufgabenstellung :
>
> Ich weiß,dass
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{m}{(m+n)*(m+n+1)}[/mm] =
> [mm]\bruch{m}{m+1}[/mm] konvergiert, wie beweise ich das? Der limes
> von [mm]\bruch{m}{m+1}[/mm] ist 1, aber ich muss halt dadrauf kommen
> :)
>
> Bin Dankbar für Tipps und Ratschläge!
Hallo,
ich bin mir nicht sicher, ob ich dein Problem erfasst habe.
Fragst du wirklich nur, warum [mm]\bruch{m}{m+1}[/mm] gegen 1 konvergiert, oder willst du doch wissen, warum die Summe gegen diesen Wert strebt?
Im ersten Fall ist es einfach:
Schreibe [mm]\bruch{m}{m+1}[/mm] als [mm]\bruch{m*1}{m(1+ \bruch{1}{m})}[/mm] und kürze m raus. Dass [mm] \bruch{1}{m} [/mm] gegen Null strebt, sollte man als bekannt voraussetzen können...
Sollte deine Frage doch in die zweite Richtung gehen:
Es gilt [mm] \bruch{m}{(m+n)*(m+n+1)}=\bruch{m}{(m+n)}-\bruch{m}{(m+n+1)}, [/mm] was zu einer schönen Teleskopsumme führt.
Was ist in der Aufgabenstellung mit "Existenz [mm] \red{beider} [/mm] Grenzwerte" gemeint?
Gruß Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:24 So 29.05.2011 | | Autor: | dimi727 |
Vielen Danke für die Antwort :)
Mit beiden Grenzwerten ist gemeint,dass man bei der Aufgabe zwei Reihen untersuchen muss, ich aber nur nen Tipp zu dieser brauchte.
Ich hatte schon eine Ahnung,dass es was mit der Teleskopreihe zu tun hatte, wegen dem m/m+1 , nur hab ich irgendwie in dem Fall die klare Antwort iwie nicht gesehen, danke dafür! Und ja, ich wollte nur zweiteres wissen,das erstere ist unwichtig und einfach :)
Danke!
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