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| Aufgabe | Man untersuche auf Konvergenz bzw. absolute Konvergenz:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n\wurzel[n]{n}} [/mm] |
Dies ist nur eine der Reihen, die mehr oder weniger Probleme machen ...
Quotienten und Wurzelkriterium bringen nicht weiter, da jeweils 1.
Wolfram Alpha sagt, die Reihe divergiere und man solle dies durch Vergleich zeigen.
Bisher haben wir immer mit der harmonischen Reihe als Minorante verglichen. Dies gelingt mir aber nicht.
Womit vergleicht man denn sinnvollerweise noch? Oder stehe ich mal wieder nur auf dem Schlauch?
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> Man untersuche auf Konvergenz bzw. absolute Konvergenz:
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n\wurzel[n]{n}}[/mm]
> Dies ist nur eine der Reihen, die mehr oder weniger
> Probleme machen ...
>
> Quotienten und Wurzelkriterium bringen nicht weiter, da
> jeweils 1.
> Wolfram Alpha sagt, die Reihe divergiere und man solle
> dies durch Vergleich zeigen.
> Bisher haben wir immer mit der harmonischen Reihe als
> Minorante verglichen. Dies gelingt mir aber nicht.
> Womit vergleicht man denn sinnvollerweise noch?
Versuche es mal mit der Reihe, die aus der harmonischen
Reihe durch Halbierung aller ihrer Glieder entsteht ...
LG , Al-Chwarizmi
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
$ {n\wurzel[n]{n} < n\wurzel{2} < 2n, $
also gilt $ \bruch{1}{n\wurzel[n]{n} $ > $\bruch{1}{2n}} $
Und damit habe ich dann den Vergleich zu einer der harmonischen Reihe "ähnlichen" Reihe - oder wie sagt man in der Begründung?
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> [mm]{n\wurzel[n]{n} < n\wurzel{2} < 2n,[/mm]
naja, das sollte nicht einfach hingeschrieben, sondern
schon noch im Detail nachgewiesen werden !
> also gilt [mm]\bruch{1}{n\wurzel[n]{n}[/mm] > [mm]\bruch{1}{2n}}[/mm]
(Dabei muss noch berücksichtigt werden, dass wir es nur mit
positiven Werten zu tun haben !)
> Und damit habe ich dann den Vergleich zu einer der
> harmonischen Reihe "ähnlichen" Reihe - oder wie sagt man
> in der Begründung?
Zeige, dass aus der Divergenz der Reihe [mm] $\summe_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$
[/mm]
auch die der neuen Reihe [mm] $\summe_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2\,n}$ [/mm] folgt.
LG , Al-Chw.
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