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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:21 Mo 20.11.2006 | | Autor: | Boomi |
| Aufgabe | Berechne [mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{k}{2^k} [/mm]
und zeige induktiv, dass [mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{k}{2^k} = 4 ( \bruch{1}{2} - \bruch{n+1}{2^n+1} + \bruch{n}{2^n+2})[/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Gut also [mm] 4 ( \bruch{1}{2} - \bruch{n+1}{2^n+1} + \bruch{n}{2^n+2}) [/mm] lässt sich umformen zu [mm]2-\bruch{n+2}{2^n}[/mm]
soweit so gut jetzt ist das einmal vereinfacht
weiters kann per per Taschenrechner berechnen, dass genau [mm]2-\bruch{n+2}{2^n}[/mm] rauskommt aus der Summe [mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{k}{2^k} [/mm] nur ich weiß nicht wie ich darauf per Hand komme?
Zuerst habe ich versucht das umzuformen, und als geometrische Reihe anzuschreiben aber das geht nicht weil ein k drinnen steckt. Ich habe mir überlegt die Summe als Ergebnis eines Cauchy Produktes zu betrachten, das Problem dabei ich glaube das geht doch nur mit unendlichen produkten oder nicht?
Ich sehe mich echt nicht raus, wäre nett wenn mir wer helfen könnte
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Hallo Boomy,
> Berechne [mm]\summe_{k=1}^{n} \bruch{k}{2^k}[/mm]
> und zeige
> induktiv, dass [mm]\summe_{k=1}^{n} \bruch{k}{2^k} = 4 ( \bruch{1}{2} - \bruch{n+1}{2^n+1} + \bruch{n}{2^n+2})[/mm]
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Gut also [mm]4 ( \bruch{1}{2} - \bruch{n+1}{2^n+1} + \bruch{n}{2^n+2})[/mm]
> lässt sich umformen zu [mm]2-\bruch{n+2}{2^n}[/mm]
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> soweit so gut jetzt ist das einmal vereinfacht
> weiters kann per per Taschenrechner berechnen, dass genau
> [mm]2-\bruch{n+2}{2^n}[/mm] rauskommt aus der Summe [mm]\summe_{k=1}^{n} \bruch{k}{2^k}[/mm]
> nur ich weiß nicht wie ich darauf per Hand komme?
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> Zuerst habe ich versucht das umzuformen, und als
> geometrische Reihe anzuschreiben aber das geht nicht weil
> ein k drinnen steckt. Ich habe mir überlegt die Summe als
> Ergebnis eines Cauchy Produktes zu betrachten, das Problem
> dabei ich glaube das geht doch nur mit unendlichen
> produkten oder nicht?
Für eine Summe dieser Art gibt's die Abelsche Summenformel, aber das nur am Rande.
Also z.Z.: [mm]\summe_{k=1}^n \bruch{k}{2^k}=2-\bruch{n+2}{2^n+2}[/mm].
Induktionsanfang ist klar.
Für den Schritt von $n$ nach $n+1$ brauchst Du nur die Summe 1 bis n+1 aufteilen in Summe 1 bis n [mm]+\bruch{n+1}{2^{n+1}}[/mm] und die Induktionsannahme beachten.
Gruß
zahlenspieler
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:13 Di 21.11.2006 | | Autor: | Boomi |
Passt, danke viieeeelmals!
Hat mir sehr geholfen.
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