Reihe berechnen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:50 Di 02.01.2007 | | Autor: | Phoney |
Hallo.
Ich würde gerne
[mm] $\sum_{n=1}^{m-1}~\frac{b_n}{2^n}+\sum_{n=m+1}^{\infty} ~\frac{1}{2^n}$
[/mm]
berechnen, geht das hier überhaupt?
Also ich bin zu dem Schluss gekommen, dass man die geometrische Reihe ja nicht anwenden kann, weil wir ja nicht die Summe bis unendlich betrachten. Ferner nimmt [mm] b_n [/mm] nur die Werte Null und Eins an.
Viele Grüße
Johann
|
|
| |
|
> Hallo.
>
> Ich würde gerne
>
> [mm]\sum_{n=1}^{m-1}~\frac{b_n}{2^n}+\sum_{n=m+1}^{\infty} ~\frac{1}{2^n}[/mm]
>
> berechnen, geht das hier überhaupt?
>
> Also ich bin zu dem Schluss gekommen, dass man die
> geometrische Reihe ja nicht anwenden kann, weil wir ja
> nicht die Summe bis unendlich betrachten. Ferner nimmt [mm]b_n[/mm]
> nur die Werte Null und Eins an.
Hallo,
doch, die geometrische Reihe kannst Du verwenden.
Du brauchst dann noch die Formel für die Partialsummen.
Nach welcher Regel nimmt denn [mm] b_n [/mm] die Werte 0 und 1 an?
[mm] \sum_{n=1}^{m-1}~\frac{b_n}{2^n}+\sum_{n=m+1}^{\infty} ~\frac{1}{2^n}= \sum_{n=1}^{m-1}~\frac{b_n}{2^n}+\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{2^n}-\summe_{n=0}^{m}\bruch{1}{2^n}
[/mm]
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:49 Mi 03.01.2007 | | Autor: | Phoney |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo, also ursprünglich sollte ich zeigen, dass wenn $ (a_n)_{n \ge 1$ und $(b_n)_{n \ge 1} $ Folgen sind, sodass jeweils unendlich viele Folgenglieder von Null verschieden und alle Folgenglieder Elemente der Menge \{0,1\} sind und
$\sum^{\infty}_{n=1}\frac{a_n}{2^n} = \sum^{\infty}_{n=1}\frac{b_n}{2^n}$
dann gilt $a_n = b_n$ für alle n=1,2,3,....
Jetzt war meine Idee halt einen Widerspruchsbeweis zu führen, also anzunehmen, dass es ein m gibt, für das a_n eben nicht gleich b_n ist, konkret a_m=1 und b_m=0
Und nun machte ich es wie folgt:
$\sum_{n=1}^{\infty}~\frac{b_n}{2^n}=\sum_{n=1}^{m-1}~ \frac{b_n}{2^n}+\sum_{n=m+1}^{\infty}~\frac{b_n}{2^n}\leq \sum_{n=1}^{m-1}~\frac{b_n}{2^n}+\sum_{n=m+1}^{\infty} ~\frac{1}{2^n}$
den letzten Term wollte ich eigentlich abschätzen oder berechnen,
hm, dann war das ganze also alles nichts?
![[bahnhof]](/images/smileys/bahnhof.gif "[bahnhof]")
Grüße
Phoney
|
|
|
| |
|
>
> Und nun machte ich es wie folgt:
>
> [mm]\sum_{n=1}^{\infty}~\frac{b_n}{2^n}=\sum_{n=1}^{m-1}~ \frac{b_n}{2^n}+\sum_{n=m+1}^{\infty}~\frac{b_n}{2^n}\leq \sum_{n=1}^{m-1}~\frac{b_n}{2^n}+\sum_{n=m+1}^{\infty} ~\frac{1}{2^n}[/mm]
>
> den letzten Term wollte ich eigentlich abschätzen oder
> berechnen,
Hallo,
nur auf die Schnelle (rechentechnisch) zum letzten Term:
doch, den kannst Du berechnen. Wie ich Dir bereits schrieb ist
[mm] \sum_{n=m+1}^{\infty} ~\frac{1}{2^n}= \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{2^n}-\summe_{n=0}^{m}\bruch{1}{2^n}
[/mm]
Mit der geometrischen Reihe und der Formel für die Partialsummen der geometrischen Reihe bekommst Du
[mm] =\bruch{1}{1-\bruch{1}{2}}-\bruch{1-(\bruch{1}{2})^{m+1}}{1-\bruch{1}{2}}
[/mm]
[mm] =2-2+2(\bruch{1}{2})^{m+1}=(\bruch{1}{2})^{m}
[/mm]
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:47 Mi 03.01.2007 | | Autor: | Phoney |
Hi.
Dumme Frage: aber wie mache ich jetzt weiter?
Wenn ich dsa ganze noch einmal für [mm] a_n [/mm] mache, kommt ja dasselbe Ergebnis mit [mm] $1+(1/2)^m$ [/mm] heraus. Und nun soll ich meine Gehirnzellen anstrengen und sagen, dass die 1 für das [mm] a_m [/mm] steht, und wenn [mm] a_m [/mm] = [mm] b_m [/mm] ist, gilt auch [mm] $\sum^{\infty}_{n=1}\frac{a_n}{2^n} [/mm] = [mm] \sum^{\infty}_{n=1}\frac{b_n}{2^n}$ [/mm]
Oder wie genau kann ich auf den Schluss kommen? Bzw. was wäre eine elegante Lösung? :)
Grüße
Johann
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:14 Mi 03.01.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo johann
Ich denk, deine Idee mit deinem Widerspruch klappt nicht., denn selbst wenn du disen Widerspr.hättest, weisst du noch nicht, obs mit 2 verschiedenen m1 und m2 und nicht 0 und 1 sondern andere Zahlen nicht zu keinem Widerspruch führte!
Ich denke, meist ist es einfacher mit =0 zu arbeiten, also bild die Differenz, nimm an [mm] a1\ne [/mm] a2 alle anderen gleich, dann folgt a1=b1, nächster Schritt: endlich viele sind nicht gleich, man kann umordnen, so dass die ersten k nicht gleich sind...
Ganz zu Ende hab ichs nicht gedacht, ist ja auch deine Aufgabe 
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Ich bezeichne die linke Summe mit den [mm] a_i [/mm] mit A und die rechte mit den [mm] b_i [/mm] mit B. Schreibt man den Wert von A als Dualzahl, so erhält man eine Kommazahl mit einer 0 vor und lauter 0-en und 1-en nach dem Komma. Die Ziffern sind der Reihe nach dann genau die [mm] a_i. [/mm] Entsprechendes gilt für B.
2 Dualzahlen sind - wie im 10-er-System auch - nur dann gleich, wenn sie in allen Ziffern übereinstimmen. Also sind alle [mm] a_i [/mm] = [mm] b_i.
[/mm]
Vermutlich darfst du diese Idee aber nicht so verwenden, deshalb hier folgender Ansatz, der auf Obigem aufbaut:
Zunächst mal sollte sicherheitshalber die Konvergenz gezeigt werden.
1. Fall: Alle [mm] a_i [/mm] = [mm] b_i. [/mm] Dann ist nichts mehr zu zeigen.
2. Fall: (indirekter Beweis)
Bei A oder B ist mindestens ein [mm] a_i \not= b_i. [/mm] Dann suchen wir das kleinste i, bei dem dies der Fall ist.
Es sei [mm] a_i=1 [/mm] und [mm] b_i=0. [/mm] Die Summanden von A und B stimmen bis i-1 überein. Nun zeigtst du, dass für die restlichen Summanden gilt: Selbst wenn A nach dem Index i nur noch Nullen und B nach dem Index I nur noch Einsen hätte, wäre A>B. Daraus folgt, weil ja A=B sein soll, dass der 2. Fall nicht möglich ist. (Entsprechendes gilt mit vertauschten Rollen für [mm] a_i=0 [/mm] und [mm] b_i=1). [/mm]
Mit den Dualzahlen erklärt: Du zeigst, dass z.B.
A = [mm] 0,1001010011...\ge [/mm] 0,1001010011 > 0,1001010011111111 usw. alles 1-en [mm] \ge0,1001010010... [/mm] = B, egal, was bei den ... jeweils steht.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:29 Fr 05.01.2007 | | Autor: | Phoney |
Hallo.
Ich danke euch allen für die sau guten Erklärungen!
Gruß,
Johann
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:10 Fr 05.01.2007 | | Autor: | Phoney |
| Aufgabe | Konvergenz?
[mm] $\sum^{\infty}_{n=1}\frac{a_n}{2^n}$ [/mm]
mit [mm] a_n \in \{0,1 \} [/mm] |
Hallo.
Doch noch einmal eine Frage, und zwar, wie weise ich die Konvergenz nach?
Ich dachte da so an das Quotientenkriterium, dass ich einmal prüfe für [mm] a_n [/mm] = 0 und [mm] a_n [/mm] = 1. Aber das ist ja schon vornerein falsch, weil [mm] a_n [/mm] nicht konstant 1 ist. Obwohl, 1 ist ja immer der höchste Wert, den [mm] a_n [/mm] annehmen kann. Also müsste doch theoretisch
[mm] \br{1}{2^n} [/mm] mit dem Quotientenkriterium zu prüfen sein?
Dann habe ich mir gedacht, vielleicht den Konvergenzradius zu überprüfen.
$R = [mm] \frac{1}{\limes_{n \rightarrow \infty}sup\wurzel[n]{|a_n|}}$
[/mm]
Was würde ich dann als [mm] a_n [/mm] nehmen? [mm] a_n [/mm] kenne ich ja gar nicht. Oder sollte ich hier dann [mm] 1/2^n [/mm] nehmen?
$R = [mm] \frac{1}{\limes_{n \rightarrow \infty}sup\wurzel[n]{\frac{1}{2^n}}} [/mm] = [mm] \br{1}{lim sup (1/2)}=1/2$
[/mm]
Das ist ja Unsinn!?
Grüße
Johann
|
|
|
| |
|
> Konvergenz?
>
> [mm]\sum^{\infty}_{n=1}\frac{a_n}{2^n}[/mm]
>
> mit [mm]a_n \in \{0,1 \}[/mm]
> Hallo.
>
> Doch noch einmal eine Frage, und zwar, wie weise ich die
> Konvergenz nach?
Hallo,
nimm das Majorantenkriterium. Du weißt ja, daß [mm]\sum^{\infty}_{n=1}(\frac{1}{2})^n[/mm] konvergiert.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:42 Fr 05.01.2007 | | Autor: | Phoney |
| Aufgabe | Konvergiert:
[mm] $\sum^{\infty}_{n=1}\frac{a_n}{2^n}$ [/mm]
mit [mm] a_n \in \{0,1 \} [/mm] ? |
Hallo.
> > Konvergenz?
> >
> > [mm]\sum^{\infty}_{n=1}\frac{a_n}{2^n}[/mm]
> >
> > mit [mm]a_n \in \{0,1 \}[/mm]
> > Hallo.
> >
> > Doch noch einmal eine Frage, und zwar, wie weise ich die
> > Konvergenz nach?
> nimm das Majorantenkriterium. Du weißt ja, daß
> [mm]\sum^{\infty}_{n=1}(\frac{1}{2})^n[/mm] konvergiert.
Ne, das möchte ich ja herausfinden 
|
|
|
| |
|
> Konvergiert:
>
> [mm]\sum^{\infty}_{n=1}\frac{a_n}{2^n}[/mm]
>
> mit [mm]a_n \in \{0,1 \}[/mm] ?
> Hallo.
>
> > > Konvergenz?
> > >
> > > [mm]\sum^{\infty}_{n=1}\frac{a_n}{2^n}[/mm]
> > >
> > > mit [mm]a_n \in \{0,1 \}[/mm]
> > > Hallo.
> > >
> > > Doch noch einmal eine Frage, und zwar, wie weise ich die
> > > Konvergenz nach?
>
> > nimm das Majorantenkriterium. Du weißt ja, daß
> > [mm]\sum^{\infty}_{n=1}(\frac{1}{2})^n[/mm] konvergiert.
>
> Ne, das möchte ich ja herausfinden
Das hast Du dann aber geschickt verschleiert...
Oben schriebst Du, daß es um die Konvergenz von [mm] \sum^{\infty}_{n=1}\frac{a_n}{2^n} [/mm] geht...
Ich glaube auch, daß Du die Konvergenz von [mm] \sum^{\infty}_{n=1}(\frac{1}{2})^n [/mm] nicht mehr herausfinden mußt. Das haben bereits andere für Dich getan: geometrische Reihe.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:23 Fr 05.01.2007 | | Autor: | Phoney |
Hi.
> > Ne, das möchte ich ja herausfinden
>
> Das hast Du dann aber geschickt verschleiert...
> Oben schriebst Du, daß es um die Konvergenz von
> [mm]\sum^{\infty}_{n=1}\frac{a_n}{2^n}[/mm] geht...
>
> Ich glaube auch, daß Du die Konvergenz von
> [mm]\sum^{\infty}_{n=1}(\frac{1}{2})^n[/mm] nicht mehr herausfinden
> mußt. Das haben bereits andere für Dich getan: geometrische
> Reihe.
Und das [mm] a_n [/mm] ist dabei egal? Weil es monoton fallend ist oder prinzipiell? [mm] a_n [/mm] könnte ja auch n! sein. Das verwirrt mich immer, das [mm] a_n [/mm] kann ich bei der geometrischen Reihe missachten, weil...?
|
|
|
| |
|
> Hi.
>
> > > Ne, das möchte ich ja herausfinden
> >
> > Das hast Du dann aber geschickt verschleiert...
> > Oben schriebst Du, daß es um die Konvergenz von
> > [mm]\sum^{\infty}_{n=1}\frac{a_n}{2^n}[/mm] geht...
> >
> > Ich glaube auch, daß Du die Konvergenz von
> > [mm]\sum^{\infty}_{n=1}(\frac{1}{2})^n[/mm] nicht mehr herausfinden
> > mußt. Das haben bereits andere für Dich getan: geometrische
> > Reihe.
>
> Und das [mm]a_n[/mm] ist dabei egal? Weil es monoton fallend ist
> oder prinzipiell? [mm]a_n[/mm] könnte ja auch n! sein.
Momentchen mal! Schriebst Du nicht, daß [mm] a_n [/mm] nur dioe Werte 0 und 1 annimmt?
WENN es so ist, ist [mm] \bruch{a_n}{2^n}\le (\bruch{1}{2})^n.
[/mm]
Nun mach Dich schlau bzgl. Majorantenkriterium.
Und dann wende es an.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Du musst nur im Kopf haben, dass die [mm] a_i [/mm] oder [mm] b_i [/mm] Nullen oder 1-en sind. Also gilt:
[mm] \summe_{i=k}^{\infty}\bruch{a_i}{2^{i}} \le\summe_{i=k}^{\infty}\bruch{1}{2^{i}}= \bruch{1}{2^{i-1}}.
[/mm]
Begründung für die letzte Gleichheit an einem Beispiel:
1/32= 1/16-1/32
1/32+1/64=3/64= 1/16-1/64
1/32+1/64+1/128=7/128= 1/16-1/128
1/32+1/64+1/128+1/256=15/256= 1/16-1/256
usw.
Der Abstand zu 1/16 schrumpft immer mehr, und die unendliche Reihe gibt als Wert 1/16.
Genau das brauchst du für den von mir angeführten Beweis.
Bemerkung:
Es gäbe eine Möglichkeits-Art, dass A und B verschieden aussehen und denselben Wert haben, wie obiger Beweis zeigt, z.B.:
A=1/2+1/4=3/4,
B=1/2+0 +1/8+1/16+1/32+...(die ganze Kette).
Nun hat aber 1/8+1/16+1/32+...(die ganze Kette)den selben Wert wie das fehlende 1/4, und A und B wären gleich.
Deshalb ist es laut Aufgabenstellung verboten, dass A oder B irgendwann abbricht. Zum Schluss haben also A und B einen Schwanz mit lauter 1-en, die obige Gleichheit kann aber nur eintreten, wenn A oder B irgendwo abbricht.
|
|
|
|
