Reihe Konvergenz bestimmen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Untersuchen Sie die nachstehend definierte Folge an und Reihe:
[mm] a_{n} [/mm] = [mm] (n-10)/n^2 [/mm] für alle n [mm] \in [/mm] N |
Hallo!
ich bräuchte einmal Hilfe bei der Konvergenzbestimmung dieser Reihe.
Die Folgenkonvergenz ist kein Problem und habe ich bereits gelöst [mm] (a_{n} \to [/mm] 0 für n [mm] \to \infty) [/mm] . Bei der Reihe habe ich schon so einiges versucht inkl. dem Quotientenkriterium, was nicht zum Ziel führen kann.
Kann mir einer auf die Sprünge helfen?
Vielen Dank!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo Ricky,
> Untersuchen Sie die nachstehend definierte Folge an und
> Reihe:
>
> [mm]a_{n}[/mm] = [mm](n-10)/n^2[/mm] für alle n [mm]\in[/mm] N
> Hallo!
>
> ich bräuchte einmal Hilfe bei der Konvergenzbestimmung
> dieser Reihe.
> Die Folgenkonvergenz ist kein Problem und habe ich bereits
> gelöst [mm](a_{n} \to[/mm] 0 für n [mm]\to \infty)[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Also könnte die zugehörige Reihe [mm] $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n-10}{n^2}$ [/mm] nach dem Trivialkriterium konvergieren, muss es aber nicht.
> Bei der Reihe habe ich schon so einiges versucht inkl. dem
> Quotientenkriterium, was nicht zum Ziel führen kann.
>
> Kann mir einer auf die Sprünge helfen?
Wenn du auf die höchsten Exponenten von n schaust, so hat die Reihe ungefähr die Gestalt [mm] $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$.
[/mm]
Die wäre als harmonische Reihe divergent.
Versuche also, gemäß dem Vergleichskriterium eine divergente Minorante zu deiner Ausgangsreihe zu finden, also eine Reihe, die kleiner ist (Minorante) und die divergiert.
Dann bliebe deiner armen größeren Reihe nichts anderes, als auch zu divergieren.
Schätze also deine Reihe nach unten gegen eine Variante der harmonischen Reihe ab, verkleinere sie also.
Dazu kannst du den Zähler verkleinern und/oder den Nenner vergrößern ...
>
> Vielen Dank!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:03 Sa 24.01.2009 | | Autor: | Rainingman |
Vielen Dank! So kann ich argumentieren !
|
|
|
| |
|
Hm. Meinst du nicht das ich eine Majorante finden muss?
Wie soll ich hier eine Minorante konstruieren? Wie soll ich hier sinnvoll abschätzen, damit ich eine Minorante finde?
Danke nochmals!
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Hm. Meinst du nicht das ich eine Majorante finden muss?
Natürlich! Darum geht es doch im Vergleichskriterium
>
> Wie soll ich hier eine Minorante konstruieren? Wie soll ich
> hier sinnvoll abschätzen, damit ich eine Minorante finde?
Das habe ich schon geschrieben, du musst die Reihe verkleinern, dazu kannst du den Zähler verkleinern und/oder den Nenner vergrößern.
Der Nenner ist schon "schön", verkleinern wir also den Zähler
Für $n>20$ ist doch sicher $n-10 \ > \ [mm] n-\frac{n}{2}=\frac{n}{2}$
[/mm]
Also [mm] $\sum\frac{n-10}{n^2} [/mm] \ > \ [mm] \sum\frac{n}{2n^2}=\frac{1}{2}\sum\frac{1}{n}$
[/mm]
Und wenn die harmonische Reihe schon gegen [mm] \infty [/mm] abhaut, so tut es das [mm] $\frac{1}{2}$-fache [/mm] bestimmt auch
Möglicherweise solltest du den Summationsindex der Reihe anpassen, da die obige Abschätzung erst ab $n=21$ gilt
Aber wenn du die ersten 20 Summanden weglässt, so ist das eine endliche Summe, es sind ja nur endlich viele, nämlich 20 Summanden.
Das ändert also am Konvergenzverhalten, hier also an der Dívergenz deiner Ausgansreihe nix.
Du könntest "schön" aufschreiben:
[mm] $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n-10}{n^2}=\sum\limits_{n=1}^{20}\frac{n-10}{n^2} [/mm] \ + \ [mm] \sum\limits_{n=21}^{\infty}\frac{n-10}{n^2} [/mm] \ > \ [mm] \underbrace{\sum\limits_{n=1}^{20}\frac{n-10}{n^2}}_{\text{endlicher Wert}} [/mm] \ + \ [mm] \underbrace{\frac{1}{2}\cdot{}\sum\limits_{n=21}^{\infty}\frac{1}{n}}_{\infty}$
[/mm]
LG
schachuzipus
>
> Danke nochmals!
|
|
|
|
