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Reihe Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:51 Di 20.03.2007
Autor: Sahra485

Aufgabe
Untersuchen ob die folgenden Reihen konvergieren

a) [mm] \summe_{}^{} \bruch{j+1}{2j^2 +1} [/mm]


b) [mm] \summe_{}^{} \bruch{j+1}{2^j} [/mm]

Meine Lösung zu a.)
    
      [mm] \bruch{1}{2j} \le \bruch{j+1}{2j^2 +1} \le \bruch{1}{j} [/mm]
    
      Es folgt nach dem MajorantenKrit. :
      da (harm.Reihe) 1/j divergent ist ist auch 1/2j divergent
      und somit ist die Reihe [mm] \bruch{j+1}{2j^2 +1} [/mm] divergent

Meine Frage: Ist der Lösungsweg korrekt?


Meine Lösung zu b.)

     Nach Quotientenkrit. :
  
     [mm] \bruch{ \bruch{j+2}{2^(j+1)}}{ \bruch{j+1}{2^j}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} (\bruch{j+1}{j+2}) [/mm]  = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] < 1
      
     Also Reihe ist absolut konvergent und somit auch konvergent

Meine Frage: Wenn ich nun zusätzlich den Grenzwert berrechnen will,
             wie wird dieser berrechnet?


Vielen Danke für jede Hilfe...

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

      

        
Bezug
Reihe Konvergenz: Nachweise okay
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:59 Di 20.03.2007
Autor: Roadrunner

Hallo Sahra!



>  Meine Lösung zu a.)
>      
> [mm]\bruch{1}{2j} \le \bruch{j+1}{2j^2 +1} \le \bruch{1}{j}[/mm]

Es hätte bereits ausgereicht, gegen die divergente Reihe [mm] $\summe\bruch{1}{2*j} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*\summe\bruch{1}{j}$ [/mm] abzuschätzen.

>  
> Es folgt nach dem MajorantenKrit. :
>        da (harm.Reihe) 1/j divergent ist ist auch 1/2j divergent
>        und somit ist die Reihe [mm]\bruch{j+1}{2j^2 +1}[/mm] divergent

[ok]


> Meine Lösung zu b.)
>  
> Nach Quotientenkrit. :
>    
> [mm]\bruch{ \bruch{j+2}{2^(j+1)}}{ \bruch{j+1}{2^j}}[/mm] =  [mm]\bruch{1}{2} (\bruch{j+1}{j+2})[/mm]  = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] < 1

Entweder mit Grenzwertdarstellung [mm] $\bruch{1}{2} \left(\bruch{j+1}{j+2}\right) [/mm] \ [mm] \red{\rightarrow} [/mm] \ [mm] \bruch{1}{2}$ [/mm] formulieren oder abschätzen: [mm] $\bruch{1}{2} \left(\bruch{j+1}{j+2}\right) [/mm] \ [mm] \red{<} [/mm] \ [mm] \bruch{1}{2}$ [/mm]


        

> Also Reihe ist absolut konvergent und somit auch konvergent

[ok]

  

> Meine Frage: Wenn ich nun zusätzlich den Grenzwert
> berrechnen will, wie wird dieser berrechnet?

[keineahnung]


Gruß vom
Roadrunner


Bezug
        
Bezug
Reihe Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:00 Di 20.03.2007
Autor: viktory_hh

Ich sage nicht mit 100% Sicherheit. Oder doch. Doch

es ist richtig, beides :-)

Bezug
        
Bezug
Reihe Konvergenz: klasique
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:09 Di 20.03.2007
Autor: Ibrahim

Hallo sahra
zu1) [mm] \limes_{j\rightarrow\infty}\bruch{j+1}{2*j²+1}=0 [/mm]
zu2) [mm] \limes_{j\rightarrow\infty}\bruch{j+1}{2j}=\bruch{1}{2} [/mm]
ich hoffe, daß ich dir gehilfen habe.
Ibrahim



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Bezug
Reihe Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:13 Di 20.03.2007
Autor: viktory_hh

dies ist im anderen Zusammenhang zwar richtig, aber hier wohl falsch.

Den lim 1/x = 0m auch aber die entsprechende Reihe ganz bestimmt nicht.


Bezug
                
Bezug
Reihe Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:20 Di 20.03.2007
Autor: schachuzipus

Hallo Ibrahim,

es ist doch folgendes gesucht:

(1) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{j=1}^{n}\bruch{j+1}{2j^2+1} [/mm]

(2) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{j=1}^{n}\bruch{j+1}{2^j} [/mm]

Der GW ist doch bei (2) auf jeden Fall größer als 2, denn die ersten beiden Summanden sind ja schon jeweils 1

Gruß

schachuzipus

Bezug
                        
Bezug
Reihe Konvergenz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:45 Di 20.03.2007
Autor: schachuzipus

Hallo Sarah,

zu [mm] \summe_{j}\bruch{j+1}{2^j} [/mm] hab ich einen kleinen Ansatz, aber ob der es bringt, weiß ich nicht:

Also du kannst die Reihe etwas umschreiben:

[mm] \summe_{j}\bruch{j+1}{2^j}=\summe_{j}\bruch{j}{2^j}+\summe_{j}\bruch{1}{2^j}=\summe_{j}\bruch{j}{2^j}+\summe_{j}\left(\bruch{1}{2}\right)^j [/mm]

Die hintere Reihe ist eine geometrische Reihe [mm] \summe_{j}q^j [/mm] mit [mm] q:=\bruch{1}{2} [/mm] und strebt daher gegen [mm] \bruch{1}{1-\bruch{1}{2}}=2 [/mm]

Also muss die Summe der beiden Reihen doch gegen irgendeinen Wert [mm] \ge [/mm] 2 streben, denn die Sumanden in der ersten Summe sind sämtlich [mm] \ge [/mm] 0

Aber wie man [mm] \summe_{j}\bruch{j}{2^j} [/mm] weiter verarztet, da fällt mir auch nichts zu ein [kopfkratz3]


Naja, trotzdem viel Erfolg ;-)

schachuzipus

Bezug
        
Bezug
Reihe Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:28 Di 20.03.2007
Autor: Sahra485

Unklar ist noch die b.)

Der Grenzwert müsste doch

[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{j+1}{2^j} [/mm]  = 3

Hab es mit maple herausgefunden, aber die Berechung ist mit unklar?
  

Bezug
                
Bezug
Reihe Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:54 Di 20.03.2007
Autor: statler

Hi Sarah!

> Unklar ist noch die b.)
>  
> Der Grenzwert müsste doch
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{j+1}{2^j}[/mm]  = 3
>
> Hab es mit maple herausgefunden, aber die Berechung ist mir
> unklar?

Da hast du grad noch die Kurve gekriegt und aus der 4 eine 3 gemacht. Die eine Teilsumme ist eine geometrische Reihe, und die andere findest du, wenn du die geometrische Reihe für 1/x nach x ableitest und dann x=2 setzt.

Ich muß jetzt offline gehen, viel Spaß.
Dieter



Bezug
                        
Bezug
Reihe Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:18 Do 29.03.2007
Autor: schachuzipus

Hallo Dieter,

könntest du das mit dem Bestimmen des Wertes von [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n}{2^n} [/mm]
bitte mit ein bis zwei Schritten erläutern, ich kriege gerade nicht auf die Reihe, was du meinst.

Danke schonmal im Voraus und schönen Gruß aus Kölle

schachuzipus

Bezug
                                
Bezug
Reihe Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:47 Fr 30.03.2007
Autor: leduart

Hallo
Dieters Weg:  betrachte
statt [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n}{2^n}[/mm]
[mm]g(x)=\summe_{n=1}^{\infty} n*x^n[/mm]
und vergleiche mit [mm]f(x)=\summe_{n=1}^{\infty} x^n[/mm]
bilde f' gliedweise innerhalb des Konvergenzbereichs:
[mm]f'=\summe_{n=1}^{\infty} n x^{n-1}}[/mm]
und vergleiche mit g(x) , du siehst f'=x*g
f' kennst du, am Ende wieder x=1/2
Mir liegt es naeher, das wie oben schon gesagt
von [mm]S_N=\summe_{n=1}^{N} \bruch{n}{2^n}[/mm]
[mm] 1/2*S_N [/mm] subtrahieren, und die Summe so direkt zu berechnen.
(im allgemeinen behandelt man diese Reihen und Konvergenz vor dem Satz ueber gliedweise Differentiation)
Gruss leduart

Bezug
                                        
Bezug
Reihe Konvergenz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:55 Fr 30.03.2007
Autor: schachuzipus

Jo erstmal dankeschön @ leduard ;-)

Werde es mir morgen in aller Gemütlichkeit mal "reinziehen".

Nochmal danke für die Mühe(n)

LG

schachuzipus

Bezug
        
Bezug
Reihe Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:02 Di 20.03.2007
Autor: leduart

Hallo Sarah
> Untersuchen ob die folgenden Reihen konvergieren
>  
> a) [mm]\summe_{}^{} \bruch{j+1}{2j^2 +1}[/mm]
>  
>
> b) [mm]\summe_{}^{} \bruch{j+1}{2^j}[/mm]
>  Meine Lösung zu a.)
>      
> [mm]\bruch{1}{2j} \le \bruch{j+1}{2j^2 +1} \le \bruch{1}{j}[/mm]
>    

hier fehlen die Zwischenschritte fuer den Beweis der Ungleichung! und du brauchst nur den 1. Teil!  

> Es folgt nach dem MajorantenKrit. :
>        da (harm.Reihe) 1/j divergent ist ist auch 1/2j
> divergent

Schreibweise nicht so zum Abgeben 1/2j ist nicht div sondern die Summe!

>        und somit ist die Reihe [mm]\bruch{j+1}{2j^2 +1}[/mm]
> divergent
>  
> Meine Frage: Ist der Lösungsweg korrekt?

ja.

> Meine Lösung zu b.)
>  
> Nach Quotientenkrit. :
>    
> [mm]\bruch{ \bruch{j+2}{2^(j+1)}}{ \bruch{j+1}{2^j}}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{2} (\bruch{j+1}{j+2})[/mm]  = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] < 1

kleiner Fehler :
=[mm]\bruch{1}{2} (\bruch{j+2}{j+1})[/mm]  
hier kannst du nicht -1/2 schreiben da es groesser 1/2 ist, also noch dazu <1 abschaetzen!    

> Also Reihe ist absolut konvergent und somit auch
> konvergent
>  
> Meine Frage: Wenn ich nun zusätzlich den Grenzwert
> berrechnen will,
> wie wird dieser berrechnet?

mit aehnlichem  Trick wie die Summe der geom. Reihe!
zieh von der Summe die Summe [mm] \bruch{j}{2^j} [/mm] ab, beihnahe die erste Reihe *1/2,   dann hast du ne geom. Reihe.
Gruss leduart

>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  
>  


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