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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:37 Fr 28.11.2008 | | Autor: | rainbow |
| Aufgabe | Zeige, dass es zu jeder reellen Zahl x mit 0<x<1 eine Folge natürlicher Zahlen [mm] 1
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{n_{k}}=x.
[/mm]
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Hallo,
helft mir bitte diese Aufgabe zu lösen. Ich habe schon vieles versucht. So ist mein Ansatz:
für x habe ich [mm] \bruch{1}{1+m} [/mm] mit m>0 gesetzt;
[mm] n_{k}=n_{k-1}+1,
[/mm]
dann [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{n_{k}}=\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{n_{k-1}+1}
[/mm]
Wie kann ich dann zeigen, dass [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{n_{k-1}+1}=\bruch{1}{1+m}?
[/mm]
ich werde sehr dankbar, wenn jemand mir hilft
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:04 Fr 28.11.2008 | | Autor: | pelzig |
> Zeige, dass es zu jeder reellen Zahl x mit 0<x<1 eine Folge
> natürlicher Zahlen [mm]1
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{n_{k}}=x.[/mm]
>
> Hallo,
> helft mir bitte diese Aufgabe zu lösen. Ich habe schon
> vieles versucht. So ist mein Ansatz:
> für x habe ich [mm]\bruch{1}{1+m}[/mm] mit m>0 gesetzt;
> [mm]n_{k}=n_{k-1}+1,[/mm]
Wie definierst du [mm] $n_1$? [/mm] Egal, es ist so oder so falsch, denn nun ist induktiv [mm] $n_k=n_1+(k-1)$ [/mm] und somit [mm] $\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{n_k}$ [/mm] divergent (vergleich mit harmonischer Reihe).
Definiere stattdessen deine Folge [mm] $n_k$ [/mm] induktiv wie folgt:
(i) Setze [mm] $n_1:=\min\{n\in\IN:1/n
(ii) [mm] $n_{k+1}:=\min\{n\in\IN:1/n
Zeige nun, dass
(1) [mm] (n_k) [/mm] streng monoton wachsend ist, d.h. [mm] $n_{k+1}>n_k$ [/mm] für alle [mm] $k\in\IN$
[/mm]
(2) [mm] $\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n 1/n_k=x$, [/mm] benutze die [mm] $\varepsilon$-Definition [/mm] des Grenzwertes. Ich vermute, dass [mm] $|\sum_{k=1}^n 1/n_k -x|\le 2^{-n}$ [/mm] ist oder sowas in der Art, dann hast du's.
Gruß, Robert
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