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| Aufgabe | | Beweisen sie: Sei [mm] (a_{n}) [/mm] eine komplexe Nullfolge! Dann ist die Reihe [mm] a_{n}^n [/mm] absolut konvergent! |
Wie zeige ich dies?
Ich komm einfach nicht drauf!
Vielen Dank!
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> Beweisen sie: Sei [mm](a_{n})[/mm] eine komplexe Nullfolge! Dann ist
> die Reihe [mm]a_{n}^n[/mm] absolut konvergent!
> Wie zeige ich dies?
> Ich komm einfach nicht drauf!
Hallo,
zunächst einmal wirst du Dir überlegen müssen, was es bedeutet, daß [mm] (a_{n}) [/mm] eine komplexe Nullfolge ist.
Danach würde ich versuchen, [mm] |a_{n}^n| [/mm] abzuschätzen und vielleicht das Majorantenkriterium zu verwenden.
Gruß v. Angela
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also an ist komplexe Nullfolge genau dann, wenn Re (an) und Im (an) (reelle) Nullfolgen sind.
Und es gilt:
$ [mm] a_n [/mm] \ = \ [mm] x_n+i\cdot{}y_n [/mm] $
Nun gilt also für den Betrag (den wir für die Definition/Anwendung als Nullfolge benötigen):
$ [mm] \left| \ a_n \ \right| [/mm] \ = \ [mm] \left| \ x_n+i\cdot{}y_n \ \right| [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{x_n^2+y_n^2 \ } [/mm] $
aber weiter weis ich grad nicht! also wie soll ich nun zeigen, dass die reihe [mm] (an)^n [/mm] absolut konvergent ist?
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> Nun gilt also für den Betrag (den wir für die
> Definition/Anwendung als Nullfolge benötigen):
>
> [mm]\left| \ a_n \ \right| \ = \ \left| \ x_n+i\cdot{}y_n \ \right| \ = \ \wurzel{x_n^2+y_n^2 \ }[/mm]
>
> aber weiter weis ich grad nicht! also wie soll ich nun
> zeigen, dass die reihe [mm](an)^n[/mm] absolut konvergent ist?
Nun, den großen Plan hatte ich ja schon aufgezeigt: aufs Majorantenkriterium zusteuern.
Zunächst aber Kleinarbeit.
Was ist mit [mm] |a_n|, [/mm] wenn die Folge [mm] (a_n) [/mm] gegen 0 konvergiert. Als Köder werfe ich mal [mm] \varepsilon [/mm] aus...
Gruß v. Angela
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[mm] |a_n| [/mm] konvergiert doch dann auch gegen null oder?
und [mm] |a_n| [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
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> [mm]|a_n|[/mm] konvergiert doch dann auch gegen null oder?
> und [mm]|a_n|[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm]
Sei 1> [mm] \varepsilon>0 [/mm] so. Wenn [mm] a_n [/mm] gegen 0 konvergiert, gibt es ... so daß
...
Daraus erhältst du eine Information über [mm] |a_n|, [/mm] woraus Du Dir eine Information über
[mm] |a_n^n| [/mm] basteln kannst zwecks Abschätzung der Reihe.
Gruß v. Angela
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ohje ich kapier des einfach nicht!
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> ohje ich kapier des einfach nicht!
Paß auf:
Die Reihe [mm] a_n [/mm] konvergiert gegen 0.
Das bedeutet doch, daß es zu jedem [mm] \varepsilon>0 [/mm] ein [mm] n_0 [/mm] gibt, so daß für alle [mm] n>n_0 |a_n-0|<\varepsilon [/mm] gilt.
Ist das klar? Da gibt es noch gar nichts zu verstehen, das ist einfach die Definition von Konvergenz.
Nun werden wir etwas frecher.
Weil das so ist, wie es oben steht, können wir [mm] \varepsilon=\bruch{1}{2} [/mm] wählen und erhalten: es gibt ein [mm] N_0 [/mm] mit [mm] |a_n|<\bruch{1}{2} [/mm] für alle [mm] n>N_0.
[/mm]
Für alle [mm] n>N_0 [/mm] ist also
[mm] |a_n^n|=|a_n|^n<...
[/mm]
Nun kannst Du eine Abschätzung mit der geometrischen Reihe vornehmen.
Gruß v. Angela
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kann man [mm] \varepsilon=1/2 [/mm] einfach so wählen oder kommt des irgendwo her?
ok des hab ich soweit verstanden! aber wie mach ich dies jetzt mit der geometrischen reihe?
Weil eine geometrische Reihe [mm] q^k [/mm] konvergiert ja nur für q<1! und [mm] q^k [/mm] = [mm] 1+q+q^2...
[/mm]
aber ich weis nicht wie man die reihe damit abschätzt?!
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> kann man [mm]\varepsilon=1/2[/mm] einfach so wählen oder kommt des
> irgendwo her?
Nein, das kommt nirgendwo her, es ist "echt" gewählt.
Was mit Bedacht getan ist, ist, daß ich es <1 gewählt habe, weil ich sonst nicht mit der geometrischen Reihe argumentieren könnte. Aber [mm] \bruch{3}{4} [/mm] oder [mm] \bruch{37}{141} [/mm] wäre genauso gut.
>
> ok des hab ich soweit verstanden! aber wie mach ich dies
> jetzt mit der geometrischen reihe?
> Weil eine geometrische Reihe [mm]q^k[/mm] konvergiert ja nur für
> q<1!
Was ist denn eine geometrische Reihe? [mm] Das:\summe_{i=0}^{\infty}q^i.
[/mm]
Wann konvergiert sie? Für q<1.
Also konvergiert die [mm] Reihe\summe_{i=0}^{\infty}(\bruch{1}{2})^i.
[/mm]
(Was ist eigentlich ihr Grenzwert? Wehe, Du weißt es nicht! Du mußt es wissen: Prüfung, Klausur...)
Was ich jetzt möchte ist, daß Du [mm] |a_n^n| [/mm] so abschätzt, daß man zusammen mit der geometrischen Reihe das Majorantenkriterium verwenden kann.
Studier es am besten nocheinmal und schau, welche Bestandteile wir bereits haben, und welchen Schluß Du gerne ziehen würdest.
Gruß v. Angela
und [mm]q^k[/mm] = [mm]1+q+q^2...[/mm]
> aber ich weis nicht wie man die reihe damit abschätzt?!
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ja das es kleiner 1 sein muss des weis ich ja! also wegen dem 1/2 wo ich gefragt hatte!
Der Grenzwert einer geometrischen Reihe ist doch 1/1-x?!
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> Der Grenzwert einer geometrischen Reihe ist doch 1/1-x?!
1/(1-x), was du sicher meinst.
Den Grenzwert brauchst du aber für die Abschätzung nicht, sondern nur die Tatsache der Konvergenz.
Mach Dich nun übers Majorantenkriterium her.
Gruß v. Angela
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jepp des mein ich, hab die klammer vergessen gehabt! ok ich versuchs nochmal:
Also Majorantenkriterium ist ja: wenn [mm] |a_{k}| \le b_{k} [/mm] und [mm] \summe_{k=0}^{\infty} b_{k} [/mm] konvergent, dann folgt die absolute konvergenz von [mm] \summe_{k=0}^{\infty} a_{k}.
[/mm]
d.h. meine geometrische Reihe entspricht nun meinem [mm] b_{k} [/mm] die ja konvergiert für q < 1. d.h. entspricht der Definition von dem Majorantenkriterium. Da meine geometrische Reihe sozusagen eine Abschätzung meiner richtigen Reihe ist, kann man auch sagen: [mm] |a_{k}| \le b_{k}! [/mm] daraus folgt ja dann nach Def. das ak absolut konvergent ist.
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> Also Majorantenkriterium ist ja: wenn [mm]|a_{k}| \le b_{k}[/mm]
> und [mm]\summe_{k=0}^{\infty} b_{k}[/mm] konvergent, dann folgt die
> absolute konvergenz von [mm]\summe_{k=0}^{\infty} a_{k}.[/mm]
> d.h.
> meine geometrische Reihe entspricht nun meinem [mm]b_{k}[/mm] die ja
> konvergiert für q < 1. d.h. entspricht der Definition von
> dem Majorantenkriterium. Da meine geometrische Reihe
> sozusagen eine Abschätzung meiner richtigen Reihe ist, kann
> man auch sagen: [mm]|a_{k}| \le b_{k}![/mm] daraus folgt ja dann
> nach Def. das ak absolut konvergent ist.
Das klingt sehr gut, ich glaube, es wird...
Das einzige, was jetzt noch Verwirrung stiften könnte ist, daß im Moment zwei Folgen [mm] a_n [/mm] herumschwirren, die von Deienr Aufgabe und die aus dem Majoranten-Buch.
Dem [mm] Majorantenbuch-a_n [/mm] entspricht das [mm] Aufgaben-a_n^n.
[/mm]
Gruß v. Angela
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ok, aber sonst ist des soweit richtig jetzt und entspricht soweit auch der lösung der aufgabe?!
Vielen vielen Dank!
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> ok, aber sonst ist des soweit richtig jetzt und entspricht
> soweit auch der lösung der aufgabe?!
Ja. Du mußt es natürlich schlüssig aufschreiben.
Gruß v. Angela
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