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| Aufgabe | Für welche [mm] a\in\IR [/mm] konvergiert die Reihe
[mm] \summe \bruch{1+a^{2k}}{1+a^{4k}} [/mm] ? |
Guten Abend,
ich weiß nicht so recht, wie ich die Konvergenz der Reihe beweisen soll (oder eben die Divergenz). Ich habe es mit dem Quotientenkriterium versucht, doch es kam leider nichts anständiges dabei raus. Gibt es andere, vielleicht einfachere Kriterien, mit denen ich die Konvergenz nachweisen kann?
Meine Idee generell wäre ja, dass der Zähler immer kleiner ist als der Nenner und es somit gegen 0 geht. Ist das so richtig?
Gruß Schneeweisschen
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Für welche [mm]a\in\IR[/mm] konvergiert die Reihe
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> [mm]\summe \bruch{1+a^{2k}}{1+a^{4k}}[/mm] ?
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> ich weiß nicht so recht, wie ich die Konvergenz der Reihe
> beweisen soll (oder eben die Divergenz). Ich habe es mit
> dem Quotientenkriterium versucht, doch es kam leider nichts
> anständiges dabei raus. Gibt es andere, vielleicht
> einfachere Kriterien, mit denen ich die Konvergenz
> nachweisen kann?
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> Meine Idee generell wäre ja, dass der Zähler immer kleiner
> ist als der Nenner und es somit gegen 0 geht. Ist das so
> richtig?
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Daß [mm] \bruch{1+a^{2k}}{1+a^{4k}} [/mm] gegen Null geht, stimmt nicht für alle a, es wäre lohnend hierüber nachzudenken.
Generell: nur wenn [mm] \bruch{1+a^{2k}}{1+a^{4k}} [/mm] -->0, kann die Reihe überhaupt konvergieren (notwendige Bedingung). Ob sie konvergiert ist dann noch zu untersuchen.
Wenn [mm] \bruch{1+a^{2k}}{1+a^{4k}} [/mm] nicht gegen 0 konvergiert, ist die Reihe nicht konvergent.
Zu Konvergenzuntersuchung:
Es ist
[mm] \bruch{1+a^{2k}}{1+a^{4k}}< \bruch{1+a^{2k}}{a^{4k}}=...
[/mm]
Für gewisse a könnte Dir diese Information nützlich sein (Majorantenkriterium).
Gruß v. Angela
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Hallo,
> Hallo,
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> .
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> Daß [mm]\bruch{1+a^{2k}}{1+a^{4k}}[/mm] gegen Null geht, stimmt
> nicht für alle a, es wäre lohnend hierüber nachzudenken.
>
Okay, ich hatte schon vorher drüber nachgedacht, aber wohl vergessen zu erwähnen, dass ich denke für ein a das zwischen -1 und +1 liegt, würde die Reihe gegen 1 konvergieren. Liegt das a aber zwischen 1 und unendlich, konvergiert diese Reihe gegen 0. Ist meine Überlegung so korrekt?
> Generell: nur wenn [mm]\bruch{1+a^{2k}}{1+a^{4k}}[/mm] -->0, kann
> die Reihe überhaupt konvergieren (notwendige Bedingung). Ob
> sie konvergiert ist dann noch zu untersuchen.
> Wenn [mm]\bruch{1+a^{2k}}{1+a^{4k}}[/mm] nicht gegen 0
> konvergiert, ist die Reihe nicht konvergent.
>
Gefragt war ja in meiner Aufgabe für welche a die Reihe konvergiert. Wenn ich dann schreibe, dass es für alle a [mm] \ge [/mm] 1 konvergiert, wäre das überhaupt richtig? Oder nehme ich nun wegen diesem Teil zwischen -1 und +1 an, dass die Reihe insgesamt nicht konvergiert?
Und falls doch: Wie beweise ich das richtig? Ich weiß, sooo viele Fragen, doch momentan fühle ich mich etwas hilflos :(
> Zu Konvergenzuntersuchung:
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> Es ist
>
> [mm]\bruch{1+a^{2k}}{1+a^{4k}}< \bruch{1+a^{2k}}{a^{4k}}=...[/mm]
>
> Für gewisse a könnte Dir diese Information nützlich sein
> (Majorantenkriterium).
>
> Gruß v. Angela
>
>
Danke für alles bisherige schonmal :) Und das Majorantenkriterium war noch nichts, womit wir uns so recht beschäftigt haben, aber ich versuche mich mal einzulesen.
Gruß schneeweisschen
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> Okay, ich hatte schon vorher drüber nachgedacht, aber wohl
> vergessen zu erwähnen, dass ich denke für ein a das
> zwischen -1 und +1 liegt, würde die Reihe gegen 1
> konvergieren. Liegt das a aber zwischen 1 und unendlich,
> konvergiert diese Reihe gegen 0. Ist meine Überlegung so
> korrekt?
Ja.
Bis hierher weißt Du nun: sie kann allenfalls auf [mm] \IR [/mm] \ [-1,1] konvergieren.
OB sie's wirklich tut, mußt Du noch herausfinden.
>
>
> Gefragt war ja in meiner Aufgabe für welche a die Reihe
> konvergiert. Wenn ich dann schreibe, dass es für alle a [mm]\ge[/mm]
> 1 konvergiert, wäre das überhaupt richtig? Oder nehme ich
> nun wegen diesem Teil zwischen -1 und +1 an, dass die Reihe
> insgesamt nicht konvergiert?
s.o.
Dein Verdacht ist:
Für |a|>1 (Betrag! Die negativen a funktionieren ja hier genauso, weil alles quadriert wird.)
konvergiert die Reihe.
> Und falls doch: Wie beweise ich das richtig?
[...]
> Und das
> Majorantenkriterium war noch nichts, womit wir uns so recht
> beschäftigt haben, aber ich versuche mich mal einzulesen.
Das ist eine gute Idee. Sofern es in der Vorlesung erwähnt war, solltest Du es verwenden können.
Dafür, wie Du es dann anwenden kannst, hatte ich Dir ja einen Hinweis gegeben.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 00:32 Fr 05.01.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Es ist genau umgekehrt! für [mm] |a|\le1 [/mm] konvergiert sie garantiert nicht, da jeder einzelne Summand >1!
Gruss leduart.
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> Hallo
> Es ist genau umgekehrt! für [mm]|a|\le1[/mm] konvergiert sie
> garantiert nicht, da jeder einzelne Summand >1!
> Gruss leduart.
Hallo,
haben denn Angela oder ich was anderes behauptet? Für uns war doch auch klar, dass es nicht konvergiert für [-1;1]. Oder habe ich da was falsch verstanden?
Wir haben doch auch gesagt, dass |a|>1 konvergiert. Oder habe ich da was übersehen?
gruß schneeweisschen
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Hallo,
>
> > Zu Konvergenzuntersuchung:
> >
> > Es ist
> >
> > [mm]\bruch{1+a^{2k}}{1+a^{4k}}< \bruch{1+a^{2k}}{a^{4k}}=...[/mm]
>
> >
> > Für gewisse a könnte Dir diese Information nützlich sein
> > (Majorantenkriterium).
okay, bisher habe ich es wohl verstanden. Das heißt nun ja für mich, dass ich die Konvergenz von dem hier:
[mm] \bruch{1+a^{2k}}{a^{4k}}
[/mm]
nachweisen muss. Wenn das nun konvergiert, konvergiert auch meine Reihe, richtig? Und das sogar absolut 
Doch wie kann ich nun zeigen, dass das hier konvergiert? Welches Kriterium wende ich dafür an? Ich habs mit dem Quotientenkriterium versucht, aber daraus wird mir nicht viel ersichtlich, weil im Exponenten immer ein k übrigbleibt mindestens.
würde ich das obige umwandeln, käme heraus:
[mm] \bruch{1}{a^{4k}}+\bruch{1}{a^{2k}}
[/mm]
Wenn ich das so sehe, würde ich sagen, dass es gegen 0 geht, weil der Nenner ja immer größer wird, während der Zähler 1 bleibt. Dann nochmal umgewandelt:
[mm] \gdw \bruch{a^{2k}+a^{4k}}{a^{2k}*a^{4k}}
[/mm]
Und man kennt ja, dass die Summe zweier Zahlen immer kleiner ist als das Produkt zweier Zahlen. Somit wird der Nenner immer größer als der Zähler sein und es konvergiert gegen 0. Würde ich sagen, wenn ich das so sehe... stimmt das denn? Aber das reicht doch nicht als Beweis aus, oder?
Ich freu mich übrigens riesig über die gut erklärten Sachen, danke 
Gruß schneeweisschen
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:37 Fr 05.01.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du verwechselst die Konvergenz von Reihen mit der Konvergenz von Folgen!
Damit Reihen konvergieren ist NOTWENDIG aber NICHT hinreichend, dass die Summanden gegen 0 konvergieren.
Dann gibt es Konvergenzkritereien. eines Davon ist Das majorantenkriterium. Hier ist wenn |a|>1 also [mm] 1/a^2<1 [/mm] die geometrische Reihe eine Majorante. Also konvergiert die Reihe für alle |a|>1.
Gruss leduart
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> Hallo
> Du verwechselst die Konvergenz von Reihen mit der
> Konvergenz von Folgen!
> Damit Reihen konvergieren ist NOTWENDIG aber NICHT
> hinreichend, dass die Summanden gegen 0 konvergieren.
> Dann gibt es Konvergenzkritereien. eines Davon ist Das
> majorantenkriterium. Hier ist wenn |a|>1 also [mm]1/a^2<1[/mm] die
> geometrische Reihe eine Majorante. Also konvergiert die
> Reihe für alle |a|>1.
> Gruss leduart
Hallo,
du hast nun [mm] \bruch{1}{a^{2}} [/mm] gewählt als Majorante, hab ich das so richtig verstanden? Ist das nun Abschätzung? sehr starke Abschätzung?
Die Majorante von Angela war ja nur leicht abgeschätzt, der Nenner wurde von [mm] 1+a^{4k} [/mm] zu [mm] a^{4k}. [/mm] Das konnte ich wohl nachvollziehen, da der Nenner ja somit kleiner wurde und der Bruch insgesamt damit größer und das ist ja dann größer als mein gegebenes. Doch bei dir kann ich das ehrlich gesagt nicht ganz nachvollziehen. Würdest du es mir vielleicht noch einmal erklärt aufzeigen? Wie du von meinen Sachen auf deine gekommen bist?
gruß schneeweisschen
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:21 Fr 05.01.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
NEIN, ich kann doch gar nicht [mm] 1/a^2 [/mm] als Majorante nehmen! ich brauch doch ne Reihe, bei der jedes Einzelglied größer ist als das meiner Reihe und da nehm ich die geom. Reihen(2) mit [mm] q=1/a^2<1.
[/mm]
Abschätzung wie Angela!!
Du musst wirklich dich drauf konzentrieren Reihen, und nicht Folgen zu betrachten!
Gruss leduart
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> Hallo,
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> >
> > > Zu Konvergenzuntersuchung:
> > >
> > > Es ist
> > >
> > > [mm]\bruch{1+a^{2k}}{1+a^{4k}}< \bruch{1+a^{2k}}{a^{4k}}=...[/mm]
>
> >
> > >
> > > Für gewisse a könnte Dir diese Information nützlich sein
> > > (Majorantenkriterium).
>
> okay, bisher habe ich es wohl verstanden. Das heißt nun ja
> für mich, dass ich die Konvergenz von dem hier:
> [mm]\bruch{1+a^{2k}}{a^{4k}}[/mm]
> nachweisen muss. Wenn das nun konvergiert, konvergiert
> auch meine Reihe, richtig?
Wenn die Reihe [mm] \summe \bruch{1+a^{2k}}{a^{4k}} [/mm] konvergiert, konvergiert auch Deine Reihe. Das sagt das Majorantenkriterium.
> würde ich das obige umwandeln, käme heraus:
> [mm]\bruch{1}{a^{4k}}+\bruch{1}{a^{2k}}[/mm]
>
> Wenn ich das so sehe, würde ich sagen, dass es gegen 0
> geht, weil der Nenner ja immer größer wird, während der
> Zähler 1 bleibt.
Das ist zwar schön und richtig, aber der Focus liegt hier auf etwas anderem:
[mm] \bruch{1}{a^{4k}}+\bruch{1}{a^{2k}}=(\bruch{1}{a^4})^k+(\bruch{1}{a^2})^k
[/mm]
Für |a|>1 konvergieren die Reihen [mm] \summe(\bruch{1}{a^4})^k [/mm] und [mm] \summe(\bruch{1}{a^2})^k. [/mm] (Geometrische Reihen)
Also konvergiert [mm] \summe((\bruch{1}{a^4})^k+(\bruch{1}{a^2})^k).
[/mm]
Jetzt zur Erinnerung: [mm] \bruch{1+a^{2k}}{1+a^{4k}}< (\bruch{1}{a^4})^k+(\bruch{1}{a^2})^k
[/mm]
So. Nun atme tief durch.
Dann lies Dir noch einmal das Majorantenkriterium durch.
Wer oder was ist hier weshalb Majorante für wen?
Dann: den allerletzten Schluß ziehen.
Das, was ich geschrieben habe, ist übrigens nichts anderes als das, worauf leduart hinauswollte.
Ich hoffe, daß es zur entgültigen Entwirrung beiträgt.
Gruß v. Angela
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