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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:44 So 12.11.2006 | | Autor: | hiltrud |
| Aufgabe | Für s>1 sei G(s) := [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{n^{s}} [/mm] . Zeige:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{k-1}}{k^{s}} [/mm] = [mm] (1-2^{1-s}) [/mm] G(s) |
Hallo, ich habe hier eine Aufgabe und mal wieder keine Idee. Solangsam verzweifel ich echt an dem Thema. ich hoffe mir kann jemand helfen. Komm damit garnicht klar. danke schon mal für eure hilfe
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> Für s>1 sei G(s) := [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{n^{s}}[/mm]
> . Zeige:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{k-1}}{k^{s}}[/mm] =
> [mm](1-2^{1-s})[/mm] G(s)
> Hallo, ich habe hier eine Aufgabe und mal wieder keine
> Idee. Solangsam verzweifel ich echt an dem Thema. ich hoffe
> mir kann jemand helfen. Komm damit garnicht klar. danke
> schon mal für eure hilfe
Hallo,
nachzudenken ist hier also zunächst über die Konvergenz der Reihe [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{k-1}}{k^{s}}.
[/mm]
Nun wurde in der Vorlesung garantiert gezeigt, daß [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{n^{s}} [/mm] für alle s [mm] \in \IN [/mm] konvergiert.
Deshalb ist es sinnvoll, daß geschrieben steht:
> Für s>1 sei G(s) := [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{n^{s}}[/mm]
Hinter G(s) verbirgt sich also der real existierende Grenzwert der Reihe.
Für die Prüfung der zu untersuchenden Reihe auf Konvergenz möchte ich Dir als Stichwort "absolute Konvergenz" ans Herz legen,
für die darauffolgende Bestimmung des Grenzwertes könntest Du Dich dann auf den Umordnungssatz für Reihen stützen.
Gruß v. Angela
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Vorüberlegung: Wenn du nur über die geraden Indizes summierst, erhältst du
[mm]\sum_{k=1}^{\infty}~\frac{1}{(2k)^s} = \sum_{k=1}^{\infty}~\frac{1}{2^s k^s} = \frac{1}{2^s} \sum_{k=1}^{\infty}~\frac{1}{k^s} = \frac{1}{2^s} \cdot G(s)[/mm]
Und jetzt die gegebene Summe entsprechend zerlegen:
[mm]\sum_{k=1}^{\infty}~\frac{(-1)^{k-1}}{k^s} = \frac{1}{1^s} - \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} - \frac{1}{4^s} + \frac{1}{5^s} - \frac{1}{6^s} \pm \ldots[/mm]
[mm]= \left(\frac{1}{1^s} + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{5^s} + \ldots \right) - \left(\frac{1}{2^s} + \frac{1}{4^s} + \frac{1}{6^s} + \ldots \right)[/mm]
[mm]= \left( \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{4^s} + \ldots \right) - \left(\frac{1}{2^s} + \frac{1}{4^s} + \frac{1}{6^s} + \ldots \right) - \left(\frac{1}{2^s} + \frac{1}{4^s} + \frac{1}{6^s} + \ldots \right)[/mm]
[mm]= \left( \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{4^s} + \ldots \right) - 2 \cdot \left(\frac{1}{2^s} + \frac{1}{4^s} + \frac{1}{6^s} + \ldots \right)[/mm]
Der Rest sollte klar sein. Zu den Konvergenzfragen hat sich angela.h.b. schon geäußert.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:25 Mo 13.11.2006 | | Autor: | hiltrud |
hey danke. ich habs mir nun mal längere zeit angegguckt und in büchern was danach gesucht, aba ich find ja garnichts dazu. was soll mir das denn mit konvergenz bringen und was bringt mir das was du denn da gemacht hast? ich versteh das nicht...man man das thema ist echt zum kotzen :-(
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> hey danke. ich habs mir nun mal längere zeit angegguckt und
> in büchern was danach gesucht, aba ich find ja garnichts
Das kann überhaupt nicht sein. Es müssen natürlich Analysislehrbücher sein, in denen Du suchst...
Auch in Deiner Vorlesung wird die absolute Konvergenz und die Umordnung von Reihen drangewesen sein.
> dazu. was soll mir das denn mit konvergenz bringen
Immerhin ist es ja Deine Aufgabe, einen Grenzwert zu bestätigen. Da ist es oft hilfreich, wenn man weiß, daß es überhaupt einen gibt.
und was
> bringt mir das was du denn da gemacht hast?
Leopold Gast hat Dir recht deutlich gezeigt, wie Du durch Anwendung der Umordnung zu dem gesuchten Grenzwert kommst.
> ich versteh das nicht...
Da müßte man Genaueres wissen: aus meiner Sicht sind die notwendigen Dinge mundgerecht ausgebreitet, aber wenn Du konkret etwas fragen möchtest...
>man man das thema ist echt zum kotzen :-(
Oh. Dann ziehe ich mich dezent zurück, bis Du damit fertig bist.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:56 Mo 13.11.2006 | | Autor: | hiltrud |
ich glaub du hast meine post falsch verstanden.
1. ich habe in den büchern nachgeschaut ob irgendwo eine ähnliche aufgabe steht, da ich nicht verstehe wofür ich hier die absolute konvergenz hier benötige. auch mit deiner erklärung verstehe ich dies irgendwie nicht.
2.absolute konvergenz und so kenne ich natürlich, danach habe ich ja auch nicht gesucht. ich kann aber nicht verstehen was mit das hier bringt
3. das mit dem zu kotzen war nicht böse gemeint, aber ich finde es ziemlich anstrengend jedes mal für eine aufgabe stundenlang davor zu sitzen und das hier nicht mal mein hauptfach ist
ich hoffe ich habe die missverständnisse hier ausgeräumt
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> da ich nicht verstehe wofür ich
> hier die absolute konvergenz hier benötige.
Die absolute Konvergenz kannst Du hier gebrauchen, weil sie Dir erlaubt, umzuordnen (wie Leopold Gast) ohne den Genzwert zu verändern.
Weil Du weißt, daß die erste Reihe konvergent ist,
ist die zweite absolut konvergent mit der angenehmen Folge, daß Du grenzwertunschädlich umordnen darfst, was wiederum zur Folge hat, daß Du den zu beweisenden Grenzwert erhältst.
Gruß v. Angela
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 16:58 Mo 13.11.2006 | | Autor: | hiltrud |
ich habs mir nun echt länger durch den kopf gehen lassen, aber ich weiß hier echt nicht was ich hier weiter machen muss. bitte helft mir,bitte bitte
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Dann muß ich erst einmal fragen: Wenn du vielleicht auch den Sinn und Zweck meiner Umformung nicht verstanden hast, verstehst du dann zumindest, was ich da gemacht habe? (Vielleicht läßt du die Frage nach der Konvergenz erst einmal ganz außer acht und kümmerst dich lieber um die Umformung an sich.)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:53 Mo 13.11.2006 | | Autor: | hiltrud |
also wie du das gemacht hast habe ich verstanden. das war kein problem. aber wieso du das gemacht hast weiß ich nicht. kannst du mir nicht sagen wie ich das machen muss/soll?
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> also wie du das gemacht hast habe ich verstanden. das war
> kein problem. aber wieso du das gemacht hast weiß ich
> nicht. kannst du mir nicht sagen wie ich das machen
> muss/soll?
Hallo,
ich bin nun wirklich etwas ratlos...
WAS genau erwartest Du von uns?
WIE können wir Dir weiterhelfen?
Verstehst Du jeden Schritt in Leopold_Gasts Rechnung?
Er rechnet es Dir eigentlich haargenau vor. Du mußt nur noch in die letzten beiden Klammern einsetzen.
Warum er es so tut, wie er's tut?
Ich bin nicht er, aber ich denke mich in ihn hinein: er macht das so, weil er das Ziel $ [mm] (1-2^{1-s}) [/mm] $ G(s) vor Augen hat und es erreichen möchte.
Gruß v. Angela
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Um die Frage selbst zu beantworten: Es ist ein Spiel "gerade-ungerade". Die gegebene Reihe alterniert ja (Vorzeichenwechsel je Summand). Wenn man also von der Reihe von [mm]G(s)[/mm] zweimal die geraden Glieder subtrahiert, erhält man die alternierende Reihe. Und dazu kommt die Erkenntnis, daß die Reihe über die geraden Glieder wieder mit Hilfe der Gesamtreihe dargestellt werden kann. Dahinter steckt nur das fünfte Potenzgesetz: [mm](2k)^s = 2^s k^s[/mm] (genauer betrifft es den Kehrwert hiervon). Und weil der Faktor [mm]2^s[/mm] von [mm]k[/mm] unabhängig ist, kann man ihn vor die Summe ziehen.
Wie ich dir noch weiter helfen kann, ohne das Ergebnis sofort zu verraten, weiß ich auch nicht. Eigentlich habe ich dir ja durch meine Vorgaben schon viel zu viel mitgeteilt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:17 Mo 13.11.2006 | | Autor: | hiltrud |
hey anscheinend muss das doch schon fast fertig sein.ich wüsste aba nicht was ich jetzt hier machen sollte. es bringt ja nichts wenn ich was zu hause aufschreibe es durchstreiche und ich das trotzdem hier poste. und ich glaube wenn man meine alten posts sieht, das ich eigentlich immer selbst was hin schreibe wenn ich was weiß,aba diesmal stehe ich anscheinend auf dem schlauch. ich weiß auch garnicht mehr was ich zeigen soll/muss. naja schade.trotzdem danke
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> ich weiß auch
> garnicht mehr was ich zeigen soll/muss.
Das, was inder Aufgabe steht:
$ [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{k-1}}{k^{s}} [/mm] $ = $ [mm] (1-2^{1-s}) [/mm] $ G(s)
Die Reihe wurde Dir bereitsa umgeformt zu
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{k-1}}{k^{s}}
[/mm]
=$ [mm] \left( \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{4^s} + \ldots \right) [/mm] - 2 [mm] \cdot \left(\frac{1}{2^s} + \frac{1}{4^s} + \frac{1}{6^s} + \ldots \right) [/mm] $
Du mußt nun nur noch ablesen und einsetzten, was [mm] \left( \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{4^s} + \ldots \right) [/mm] und [mm] \left(\frac{1}{2^s} + \frac{1}{4^s} + \frac{1}{6^s} + \ldots \right) [/mm] sind.
Beides taucht im Thread auf.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:56 Mo 13.11.2006 | | Autor: | hiltrud |
ich kann mir das angucken bis ich blind werde, ich komme einfach nicht drauf. aba bevor mir unterstellt wird das ich nur auf die lösung aus bin lassen wir es lieber, da es so nämlich nicht ist. trotzdem danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:11 Mo 13.11.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo hiltrud
Manchmal starrt man zu lange wo drauf! Ich würd erstmal drüber schlafen, mir dann die ausführlichsten posts ausdrucken, und dann noch mal kurz nachdenken.
vielleicht hast du nur übersehen den Ausdruck mit G(s) auszumultiplizieren, da steht dann [mm] G(s)+2*\bruch{1}{2^s}*G(s)
[/mm]
Gute Nacht!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:56 Di 14.11.2006 | | Autor: | hiltrud |
guten morgen.
ich habs nun sogar alles abgeschrieben und es mir nochmal angeguckt, aber mir fällt da absolut nichts zu ein. vielleicht bin ich auch zu dumm oder blind, aber mir wird hier nichts klar.komisch komisch :-(
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> ich habs nun sogar alles abgeschrieben und es mir nochmal
> angeguckt, aber mir fällt da absolut nichts zu ein.
Na, versuchen wir's mal aus der anderen Richtung:
Voraussetzung war ja Für s>1 sei G(s) := $ [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{n^{s}} [/mm] $ .
Nun ist es so, daß so etwas nie grundlos dasteht. Man kann fast sicher davon ausgehen, daß man jegliche Information, die einem geliefert wird, verarbeiten muß.
Jetzt schreib Dir obige Summe mal aus.
Und dann guck in Leopold_Gasts Post, ob Du sie da irgendwo wiederfindest.
Das wäre ein Anfang.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:55 Di 14.11.2006 | | Autor: | hiltrud |
hey danke nochmal für eure hilfe. ich komm einfach nicht drauf und in einer stunde ist abgabetermin und da ich noch n andere aufgabe machen muss,schreib ich das auf was ihr mir schon gepostet hab, den rest lass ich dann weg :-(
danke nochmal
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:28 Di 14.11.2006 | | Autor: | hiltrud |
hey ich glaube ich habe es doch noch heraus bekommen:
ich habe erstmal umgeformt:
[mm] 1-2^{1-s}= [/mm] 1- [mm] \bruch{1}{2^{s-1}}= [/mm] 1- [mm] \bruch{2}{2^{s}} [/mm] ergibt für die rechte seite:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n^{s}} [/mm] - 2* [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{(2n)^{s}} [/mm] und das ist ja das gleiche wie
[mm] (\bruch{1}{1^{s}} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2^{s}} [/mm] + [mm] \bruch{1}{3^{s}} [/mm] + [mm] \bruch{1}{4^{s}}+...) [/mm] - 2* [mm] (\bruch{1}{2^{s}} [/mm] + [mm] \bruch{1}{4^{s}} [/mm] + [mm] \bruch{1}{6^{s}}+...) [/mm] und das ist ja gleich [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{k-1}}{k^{s}} [/mm] und damit ist das doch bewiesen oder nicht?
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Ich fass' es nicht:
jaaaaaaaaaa!!!
Gruß v. Angela
P.S.: Unbedingt noch erwähnen, daß Du wegen der absoluten Konvergenz umordnen darfst...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:06 Mi 15.11.2006 | | Autor: | hiltrud |
was eine schwere geburt.  war aber eigentlich garnicht so schwer.
meinst du mit dem umordnen, das zerlegen was leopold gemacht hast? das ich da noch schreiben muss dass das geht da die reihe absolut konvergiert?
oder wie muss ich das formulieren?
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> meinst du mit dem umordnen, das zerlegen was leopold
> gemacht hast? das ich da noch schreiben muss dass das geht
> da die reihe absolut konvergiert?
Genau. Leopold hat die Reihenfolge der Summanden in der zu betrachtenden Reihe munter verändert. Man muß sich vorher vergewissern, ob man das überhaupt darf: es könnte sich ja der Grenzwert oder die ganze Konvergenz mit der Reihenfolge der Summanden ändern. Absolut konvergente Reihen sind da gutmütig. Bei denen darf man umordnen.
Nachdem Du nun die Rechentechnik gemeistert hast, möchte ich doch noch einmal mit Dir ein paar Schritte zurücktreten und mit etwas Abstand auf die Aufgabe schauen.
Es war der Grenzwert der Reihe $ [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{k-1}}{k^{s}} [/mm] $ zu finden.
Es ist aber nicht von vornherein selbstverständlich, daß eine Reihe konvergiert.
Was garantiert uns die Konvergenz dieser Reihe?
Es ist die absolute Konvergenz. Es ist ja [mm] \summe_{k=1}^{\infty} |\bruch{(-1)^{k-1}}{k^{s}}| =\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{k^{s}}. [/mm] Die Konvergenz dieser Reihe ist uns bekannt - wenn nicht aus der Vorlesung, dann aus der CVoraussetzung der Aufgabenstellung: G(s) := $ [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{n^{s}} [/mm] $
Langer Rede kurzer Sinn: [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{k-1}}{k^{s}} [/mm] ist absolut konvergent, und somit konvergent. (Vorlesung!)
Nun wissen wir, daß es überhaupt Sinn macht, den Grenzwert zu suchen.
Fürs Finden hilft uns nun der Umordnungssatz. Weil die Reihe absolut konvergent ist, dürfen wir nach Belieben die Summanden so umsortieren, daß wir den Grenzwert aufspüren können. Das war das, was in der Aufgabe zu rechnen war.
Schreiben kannst Du:
Es ist [mm] \summe_{k=1}^{\infty} |\bruch{(-1)^{k-1}}{k^{s}}| =\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{k^{s}}=G(s).
[/mm]
Also konvergiert die Reihe absolut, hat also einen Grenzwert.
Wegen der absoluten Konvergenz kann man nach dem Umordnungssatz umordnen, ohne den Grenzwert zu verändern.
Also ist
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{k-1}}{k^{s}}= [/mm] ... =$ [mm] (1-2^{1-s}) [/mm] $ G(s)
Gruß v. Angela
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