Regressionsgerade und Co < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:55 Mo 19.12.2005 | | Autor: | andy_g |
| Aufgabe | Die Zahl der am Niederrhein ueberwinternden Blaßgaense hat sich wie folgt entwickelt:
Jahr 68/69 71/72 74/75 77/78 80/81 83/84 86/87 89/90
Zahl n(t) 1500 2200 3300 4000 15000 55000 80000 130000
Nehmen Sie an, die Zahl n(t) waechst als Funktion der Zeit t exponentiell, d.h. n(t) = c*e^lambda*t; mit
zwei unbekannten Parametern c und lambda.
(a) Bestimmen Sie die Parameter c und lambda mit Hilfe der Regressionsgeraden fuer die logarithmierten
ueberwinterungszahlen log n(t).
(b) Um wieviel Prozent waechst die Winterpopulation jaehrlich?
(c) Wie viele Blaßgaense ueberwintern zur Zeit am Niederrhein? (Nehmen Sie dazu an, daß sich
das Wachstum gemaeß (i) fortgesetzt hat.) |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Habe allgemein Probleme mit dieser Frage. Spätestens nach dem logarithmieren weiß ich nicht weiter. Irgendwie kann man da den Mittelwert berechnen und dann in eine Formel einsetzen. Habe sowas voer aber noch nicht gemacht.
Bitte um Hilfe.
|
|
| |
|
Hallo [mm] andy_g,
[/mm]
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Die Zahl der am Niederrhein ueberwinternden Blaßgaense hat
> sich wie folgt entwickelt:
>
> Jahr 68/69 71/72 74/75 77/78 80/81 83/84 86/87
> 89/90
> Zahl n(t) 1500 2200 3300 4000 15000 55000
> 80000 130000
>
> Nehmen Sie an, die Zahl n(t) waechst als Funktion der Zeit
> t exponentiell, d.h. n(t) = c*e^lambda*t; mit
> zwei unbekannten Parametern c und lambda.
> (a) Bestimmen Sie die Parameter c und lambda mit Hilfe der
> Regressionsgeraden fuer die logarithmierten
> ueberwinterungszahlen log n(t).
>
> (b) Um wieviel Prozent waechst die Winterpopulation
> jaehrlich?
>
> (c) Wie viele Blaßgaense ueberwintern zur Zeit am
> Niederrhein? (Nehmen Sie dazu an, daß sich
> das Wachstum gemaeß (i) fortgesetzt hat.)
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Habe allgemein Probleme mit dieser Frage. Spätestens nach
> dem logarithmieren weiß ich nicht weiter. Irgendwie kann
> man da den Mittelwert berechnen und dann in eine Formel
> einsetzen. Habe sowas voer aber noch nicht gemacht.
> Bitte um Hilfe.
>
Zunächst benötigst Du irgendwie eine Gerade, dies erreichst Du durch logarithmieren des Ansatzes:
[mm]
\begin{gathered}
n(t)\; = \;c\;e^{\lambda t} \hfill \\
\Leftrightarrow \;\ln \;n(t)\; = \;\ln \;c\; + \;\lambda \;t \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Hier werden die Paare [mm]\left( {t,\;\ln \;n} \right)[/mm] betrachtet.
Nun die optimale Gerade bekomm man nun, wenn man den Ausdruck, indem man den Ausdruck [mm]\sum\limits_{k = 1}^8 {\left( {y_k \; - \;a\;x_k \; - \;b} \right)^2 } [/mm] minimiert, wobei hier
[mm]
\begin{gathered}
y_k \; = \;\ln \;n_k \hfill \\
x_k \; = \;t_k \hfill \\
a\; = \;\lambda \hfill \\
b\; = \;\ln \;c \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
definiert sind.
Hier muss man partiell nach a und b ableiten und diese Ableitungen dann 0 setzen. Daraus ergibt sich ein lineares Gleichungssystem, welches die Unbekannten a und b enthält.
[mm]
\begin{gathered}
a\;\sum\limits_{k = 1}^8 {x_k } \; + \;b\;\sum\limits_{k = 1}^8 1 \; = \;\sum\limits_{k = 1}^8 {y_k } \hfill \\
a\;\sum\limits_{k = 1}^8 {x_k^2 } \; + \;b\;\sum\limits_{k = 1}^8 {x_k } \; = \;\sum\limits_{k = 1}^8 {y_k } \;x_k \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Gruß
MathePower
|
|
|
|
