Regressionsgerade < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:02 Do 21.06.2007 | | Autor: | Ragniro |
Hallo Leute :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Da ich in Mathematik nicht gerade sehr gut stehe, hatte mir mein Lehrer angeboten meine Note durch ein Referat zum Thema "Methode der kleinsten Fehlerquadrate" ein bisschen aufzubessern.
Selbstverständlich nahm ich diesen "Wink mit dem Zaunpfahl" wahr und habe mich darauf eingelassen.
Doch nun habe ich folgendes Problem:
Bedingung ist, die gesamte Geschichte selbst herzuleiten, zu erörtern,sodass ich einen Kurzvortrag vor der Klasse halten könnte.
Material muss ich mir selbst suchen und hierbei habe ich dann gesehen, wie wenig verständliches Material es im Internet gibt.
In meinem Mathebuch (LS:Eibführung in die Analysis und Stochastik mit dem GTR) sind absolut keine Formels oder Hilfen enthalten. Es steht lediglich darin, ich solle im Internet unter Regressionsgerade u.Ä. suchen.
Durch diese Suche bin ich dann hier gelandet und ich hoffe dass mir hier ein wenig geholfen werden kann, auch wenn es sicher viel verlangt ist :)
P.S.
Ich suche also eine Erklärung für das konstruieren einer Regressionsgerade, die auch nicht so gute Schüler verstehen können :)
Vielen Dank im voraus!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:14 Do 21.06.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Dann schreib doch mal, was du bisher verstanden hast.
Die Steigung der Regressionsgerade berechnest du ja über die Methode der kleinsten quadratischen Abweichung.
Hast du eher Probleme, diese Formel herzuleiten, oder das Minimum zu finden?
Für das Minimum denke mal an die Extremwertaufgaben, oder die Kurvendiskussionen: Wie bestimme ich hier die Tiefpunkte (notwendig+hinreichend)?
Für die Formel zeichne dir mal die Punkte auf, zeichne eine Gerade durch den Schwerpunkt, und zeichne mal die Abstände Punkt-Gerade von einigen Punkten der Punktwolke auf. Dann "wackel" mal ein wenig die Gerade, dann solltest du sehen, dass die Abstände sich ändern.
Wenn du jetzt die Abstände mathematisch beschreibst, hast du schon fast gewonnen. Überlege dir mal nur noch, warum man diese dann noch Quadriert? (Denk mal an die Vorzeichen bei einfachen Abstand und beim Quadratischen. Was könnte passieren, wenn ich es nicht quadriere?)
Marius
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:10 Do 21.06.2007 | | Autor: | Ragniro |
Hmm
also ich bin bei der Recherche auf so Seiten wie Wikipedia gekommen, mit ewig langen Bruch-Rechnungen und dem Zeugs :)
Ganz ehrlich, ich verstehe davon nicht viel.
Auf deine Frage hin, wo mein Problem liegt, ich denke dass es beide "Themen" sind, die du angesprochen hast.
Ich finde weder eine Formel, die ich richtig verstehe, noch weiß ich wie ich von den gegebenen Punkten aus auf die Regressionsgerade kommen soll
Ich weiß zwar, dass die Summe der "Strecken" der Punkte zur Regressionsgerade möglichst klein sein soll, nur wie ich das rechne weiß ich nicht, ich kann ja nicht 1000 Geraden einzeichnen und dann bei jeder abmessen, oder?
Gruß Jonathan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:50 Do 21.06.2007 | | Autor: | tobbi |
Hallo Ragniro,
nein, 100 Geraden zeichnen und anfangen zu messen sollst du nicht. Das hat auch wenig mit Mathematik zu tun.
Zum Vorgehen:
- Nimm dir ein Koordinatensystem und zeichne dir die gegebenen Punkte ein. Falls keine konkreten Punkte gegeben sind, denk dir einfach mal 5 Stück aus.
- Zeichne dann "frei nach Augenmaß" erstmal eine Gerade durch die Punkte. Zeichne dir die Abstände von Punkt zu Geraden (als Senkrechte durch den Punkt auf die x-Achse) ein.
-Überlege dir dann wie du (ausgehend von einer allgemeinen Geradengleichung) diese Abstände berechnen kannst.
-Deine Zielfunktion die du minimieren möchtest ist nun erstmal die Summe der Abstände.
- Überlege dir was passiert, wenn z.B. einige Punkte oberhalb der Geraden und andere unterhalb liegen. Dies sollte dich auf die Spur bringen, wieso die Fehlerquadrate und nicht einfach die Abstände betrachtet werden. (Anmerkung: Betragsfunktion lassen sich nur schwer ableiten)
- Formuliere also die Summe nun als die Quadrate der Abstände.
- Letztlich musst du diese nur noch minimieren.
Sehr ausführlich findest du das auch noch ![[]](/images/popup.gif) in dieser alten Facharbeit.
Wenn du irgendwo hängen bleibst, dann meld dich einfach nochmal.
Schöne Grüße
Tobbi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:33 Fr 22.06.2007 | | Autor: | Ragniro |
nun stellt sich das Problem, wie ich den Schwerpunkt der Punkte ausrechnen soll.. Ich habe einfach keine Ahnung wie das funktionieren könnte, habe ein bisschen rumprobiert, bin jedoch auf keinen grünen Zweig gekommen :(
Habe meine alten Aufzeichungen leider nichtmehr, die sind irgendwie verschütt gegangen :/
Bei der Suchfunktion kommen leider über 1000 Seiten, sodass es mir kaum möglich ist diese Frage zu finden, falls sie schonmal getsellt wurde.
Gruß Jonathan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:42 Fr 22.06.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> nun stellt sich das Problem, wie ich den Schwerpunkt der
> Punkte ausrechnen soll.. Ich habe einfach keine Ahnung wie
> das funktionieren könnte, habe ein bisschen rumprobiert,
> bin jedoch auf keinen grünen Zweig gekommen :(
Der Schwerpunkt S hat die Koordianten [mm] (\overline{x}/\overline{y})
[/mm]
[mm] \overline{x} [/mm] ist der Arithmetische Mittelwert der x-Koordinaten der Punktwolke, [mm] \overline{y} [/mm] der Arithm. Mittelw. der y-Koordinaten.
Also:
[mm] \overline{x}=\bruch{\summe_{i=1}^{n}x_{i}}{n}
[/mm]
[mm] x_{i}/y_{i} [/mm] sind die n Punkte der Punktwolke.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:52 Fr 22.06.2007 | | Autor: | Ragniro |
hmm ich habe das gerade mal versucht mit einem Beispiel.
Ich nenne Dir nun die Punkte und den Schwerpunkt den ich dafür rausbekommen habe, vielleicht stimmt's ja sogar, wenn nicht weißt Du vielleicht woran es liegt :)
P1 (1|4)
P2 (2,5|5)
P3 (4,5|5,5)
P4 (7|4,5)
P5 (9,5|6,5)
Als Schwerpunkt S hätte ich somit den Punkt S (4,9|5,1) herausbekommen. Aber irgendwas sagt mir, dass es nicht stimmt ...
Gruß Jonathan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:07 Fr 22.06.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
> hmm ich habe das gerade mal versucht mit einem Beispiel.
> Ich nenne Dir nun die Punkte und den Schwerpunkt den ich
> dafür rausbekommen habe, vielleicht stimmt's ja sogar, wenn
> nicht weißt Du vielleicht woran es liegt :)
>
> P1 (1|4)
> P2 (2,5|5)
> P3 (4,5|5,5)
> P4 (7|4,5)
> P5 (9,5|6,5)
>
> Als Schwerpunkt S hätte ich somit den Punkt S (4,9|5,1)
> herausbekommen. Aber irgendwas sagt mir, dass es nicht
> stimmt ...
Dann irrt sich das Irgendwas. Der Schwerpunkt ist korrekt
>
> Gruß Jonathan
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:16 Fr 22.06.2007 | | Autor: | Ragniro |
ok, ist ja super :)
Das mit dem Quadrieren habe ich glaube ich auch herausgefunden.
Wenn ich eine Gerade durch den Schwerpunkt S zeichne, werden ja (fast) immer Punkte über und unter dieser Geraden liegen. Die Punkte über der geraden interessieren so eigentlich nicht, da sie beim Quadrieren ihr positives Vorzeichen behalten. Bei den "negativen Punkten" unter der Geraden wandelt sich jedoch das Vorzeichen in positiv um.
Will man so verhindern, dass bei der Summe der Strecken eventuell negative Werte entstehen könnten, wenn man diese nicht quadriert?
Jonathan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:43 Fr 22.06.2007 | | Autor: | tobbi |
Hallo,
deine Überlegungen zum Quadrieren klingen schon sehr gut. Zum Einen will man, wie du schreibst verhindern, dass die Summe negativ wird. Viel wichtiger ist aber, dass sich Fehler nach unten und nach oben nicht gegenseitig "aufheben".
Beispiel: Du hast 3 Punkte und ermittelst als (unquadrierte) Abstände [mm] a_i:
[/mm]
[mm] a_1=5, a_2=-3, a_3=-2
[/mm]
Diese Punkte weichen doch deutlich von der Geraden ab, trotzdem ist ihre Summe "null". Dies wird durch die Quadrate verhindert.
Schöne Grüße
Tobbi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:58 Fr 22.06.2007 | | Autor: | Ragniro |
Hätte ich nun also 5 Punkte, eine Gerade die durch den Schwerpunkt jener 5 Punkte läuft, so könnte ich anhand der Funktionsgleichung für diese Gerade den Abstand zu den einzelnen Punkten ausmessen, korrekt?
Diese werden quadriert und zum Schluss dann addiert. Je kleiner die Summe, desto idealer ist die Gerade folglich.
Wie komme ich jetzt jedoch auf die kleinste Summe?
2-3 Geraden einzeichnen und schauen, bei welcher Gerade die Summe am kleinsten ist und diese gegebenenfalls weiter anpassen, oder gibt es hierfür eine Formel?
Gruß Jonathan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:26 Fr 22.06.2007 | | Autor: | tobbi |
Hallo,
ausmessen klingt zwar schön. hat aber nichts mit Mathematik zu tun. Wir sind ja faul und wollen, hätten wir z.B. 1000 Messpunkte, nicht 2 tage mit dem Lineal überm Papier sitzen.
Wir wollen also doch lieber rechnen ,-)
Hierzu folgende Tipps:
Du hast eine Gerade der Form
y= [mm] a\cdot{x}+b [/mm] mit a:= Steigung, b:= y-Achsenabschnitt
Außerdem weißt du, dass die Gerade durch den Schwerpunkt [mm] (x_S|y_S) [/mm] verlaufen soll. Es muss also
[mm] y_S=a\cdot{x_S}+b
[/mm]
gelten. Mit dieser Bedingung kannst du das b aus der Geradengleichung eliminieren (Ersetzen durch einen Term in a)
Weiterhin ist der Abstand der Messpunkte [mm] (x_i|y_i) [/mm] zur Geraden gegeben durch die Differenz von [mm] y_i [/mm] zu [mm] y(x_i). [/mm] Das solltest du dann leicht ausrechnen können (in Abhängigkeit vom Parametern a). Dies musst du dann quadrieren und alle Terme aufsummieren.
Als letzten Schritt muss dies noch minimiert werden. Denk dabei mal an Ableitungen (Kurvendiskussion -->Bestimmung vom globalen Minimum). Beachte, dass deine freie Variable hier das a und nicht etwa das x ist, du also auch nach a und nicht nach x ableiten musst.
Schöne Grüße
Tobbi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:30 Sa 23.06.2007 | | Autor: | Ragniro |
Guten Morgen :)
Also ich habe gestern versucht und probiert was das Zeugs hergab :)
Bin nun auch schon 3 Seiten weit mit der Arbeit und habe soweit alles verstanden was ich geschrieben habe.
Jetzt ist mir nochmal eine Stelle gekommen, die mir unklar ist.
Angenommen ich habe 24 Messpunkte, den Schwerpunkt S ausgerechnet, so weiß ich ja dass meine Regressionsgerade durch diesen Punkt S verlaufen muss. Ich weiß jedoch nicht, in welchem "Winkel" sie ihn trifft.
Ich habe keine Ahnung, wie ich anhand der Messpunkte auf eine Regressionsgerade kommen soll, da ich ja nicht willkürlich eine einzeichnen darf und will, um die Abstände zu bekommen und somit die Gerade zu "verschieben"
Vielleicht könnt ihr mir helfen und ich hoffe die Frage ist plausibel gestellt :)
P.S. Tobbi, du hast es oben zwar sehr schön geschrieben, aber wirklich verstanden habe ich es nicht, sorry :(
Gruß Jonathan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:23 Sa 23.06.2007 | | Autor: | tobbi |
Hallo,
vielleichts wird das, was ich oben beschrieben habe, verständlicher, wenn ich allgemein rechne, dann brauchst du das nur noch an deine gegebenen Messpunkte anpassen.
Gegeben sind also n Messpunkte mit den Koordinaten [mm] (x_i|y_i) (i\in [/mm] {1,2,3,..n}), der Schwerpunkt dieser Messpunkte mit den Koordinaten [mm] (x_S|y_S), [/mm] sowie eine Gerade der Form [mm] y(x)=a\cdot{x}+b.
[/mm]
Nun muss diese Gerade, wie du schon erkannt hast, durch den Schwerpunkt verlaufen. Es gilt also:
[mm] y_S=a\cdot{x_S}+b \gdw [/mm] b= [mm] y_S-a\cdot{x_S}
[/mm]
Wenn du dies in die ursprüngliche Geradengelichung einsetzt, ergibt sich:
[mm] y(x)=a\cdot{x}-a\cdot{x_S}+y_s [/mm] und vereinfacht
y(x) = [mm] a\cdot{(x-x_S)}+y_S
[/mm]
Nun hast du eine Geradengleichung, die durch den Schwerpunkt verläuft, allerdings noch abhängig von der Steigung a ist.
Der Abstand [mm] \delta [/mm] von einem Messpunkt k zu der Geraden ist dann die Differenz der y-Koordinaten. Also
[mm] \delta_k=y_k-y(x_k) [/mm] oder eingesetzt für [mm] y(x_k)
[/mm]
[mm] \delta_k=y_k-a\cdot{(x_k-x_S)}-y_S
[/mm]
Diesen Term nun quadrieren und alle [mm] \delta_k^{2} [/mm] aufsummieren liefert dann für den Fehler F:
[mm] F=\summe_{i=1}^{n}(y_i-a\cdot{(x_i-x_S)}-y_S)^{2}
[/mm]
Diese Summe kannst du, da du ja eine begrenze Anzahl an Messpunkten hast, einfach berechnen. Nun musst du sie noch minimieren, also ableiten (nach a) und Minima bestimmen....aber da bist du erstmal wieder dran.
Schöne Grüße
Tobbi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:46 So 24.06.2007 | | Autor: | Ragniro |
huhu,
nur eine kleine Frage um zu überprüfen, ob ichs richtig verstanden habe :)
Habe ich einen Messpunkt (3,0|1), und der Schwerpunkt S den ich davor mit anderen Messpunkten ausgerechnet habe sei S (3,2|12,5),
so sei ja mit der Formel
[mm] \delta_k=(y_k-a\cdot{(x_k-x_S)}-y_S)²
[/mm]
mit den eingesetzten Werten:
[mm] \delta_k=(3,0-a\cdot{(1-3,2)}-12,5)²
[/mm]
Ist es korrekt wenn ich nun annehme, das mit allen 24 Punkten zu machen?
Danke für Eure Hilfe!
P.S. Was würde denn oben beim Fallbeispiel rauskommen?
Bei mir steht nun [mm] (-a\*7,3)² [/mm] da,
Ich habe keine Ahnung was ich mit dem Term dann machen soll
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:51 So 24.06.2007 | | Autor: | tobbi |
Hallo,
was du da eingesetzt hast, sieht gut aus. Was du dann da ausgerechnet hast nicht.
[mm] \delta_k=(3,0-a\cdot{(1-3,2)}-12,5)²
[/mm]
[mm] \gdw \delta_k=(-9,5-2,2a)^{2}
[/mm]
Beachte: Dies ist eine binomische Formel.
Nun tust du dies für alle 24 (vielleicht solltest du für deine Erklärung in der Schule einfach nur 5 Punkte oder so benutzen) [mm] \delta_k [/mm] und summierst diese auf. Die Summe soll dann minimiert werden. Du musst sie also ableiten (Kettenregel!!) und dann das globale Minimum suchen (notw. Bedingung: 1. Ableitung =0)
Schöne Grüße
Tobbi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:27 Sa 30.06.2007 | | Autor: | Ragniro |
so hallo :)
Hatte einige Zeit kein internet, sonst hätte ich früher geschrieben.
Ich habe nun etwas rumgerechnet und gehe mal von dieser Formel hier aus:
[mm] \(8,8-a*(1-4,5)-9,7)² [/mm] , aus der sich dann ja nach Umformen
[mm] \(-3,5a-0,9)² [/mm] ergibt.
Hier liegt ja eine binomische Formel vor, diese habe ich aufgelöst nach
[mm] \112,25a²-2*((-3,5a)*0,9)+0,81 [/mm] (ich hoffe das stimmt ;>),die nach Vereinfachung folgendermaßen aussieht:
[mm] \((12,25a²-6,3a+0,81)² [/mm] .
Wie löse ich das nun nach der Kettenregel auf?
ich habs mal probiert, aber bin mir nicht sicher:
[mm] \([12,25a²-6,3a+0,81)²
[/mm]
Kettenregel:
[mm] f(x)=\112,25x²-6,3x+0,81; \x²
[/mm]
[mm] f'(x)=\24,5x+6,3; [/mm] 2x
[mm] =\22*(12,25x²-6,3x+0,81)*24,5x+6,3
[/mm]
[mm] =\449x(12,25x²-6,3x+0,81)+6,3
[/mm]
[mm] f(x)=\6600,25x³-308,7x²+39,69x+6,3
[/mm]
[mm] f'(x)=\11800,75x²-617,4x+39,69 [/mm]
[mm] f'(x)=\00
[/mm]
Das habe ich nun in mit der Mitternachtsformel ausgerechnet:
[mm] x_1_|_2=\bruch{-617,4\pm\wurzel{617,4²-4*1800,75*39,69}}{2*1800,75}
[/mm]
[mm] x_1_|_2=\bruch{-617,4\pm\wurzel{617,4²-4*71471,76}}{3601,5}
[/mm]
[mm] x_1_|_2=\bruch{-617,4\pm\wurzel{617,4²-285887,07}}{3601,5}
[/mm]
[mm] x_1_|_2=\bruch{-617,4\pm\wurzel{381182,76-285887,07}}{3601,5}
[/mm]
[mm] x_1_|_2=\bruch{-617,4\pm308,7}{3601,5}
[/mm]
[mm] x_1_|_2=\bruch{-617,4+308,7}{3601,5}=-0,09
[/mm]
[mm] x_2_|_2=\bruch{-617,4-308,7}{3601,5}=-0,3
[/mm]
puuh das war Arbeit :)
Nun habe ich die beiden x in die Gleichung von oben [ [mm] f(x)=\6600,25x³-308,7x²+39,69x+6,3 [/mm] ]eingesetzt:
[mm] x_1 f(x)=\6600,25*(-0,09)³-308,7*(-0.09)²+39,69*(-0.09)+6,3
[/mm]
[mm] f(x)=\--0,44-2,5-3,57+6,3=-0,21
[/mm]
[mm] x_2 f(x)=\6600,25*(-0,3)³-308,7*(-0.3)²+39,69*(-0.3)+6,3
[/mm]
[mm] f(x)=\--16,2-27,78-11,9+6,3=-49,58
[/mm]
So, was mache ich nun mit diesen Zahlen? Was sagen sie mir, brauche ich sie überhaupt??
Vielen Dank im voraus!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:34 So 01.07.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> so hallo :)
>
> Hatte einige Zeit kein internet, sonst hätte ich früher
> geschrieben.
>
> Ich habe nun etwas rumgerechnet und gehe mal von dieser
> Formel hier aus:
>
> [mm]\(8,8-a*(1-4,5)-9,7)²[/mm] , aus der sich dann ja nach
> Umformen
>
> [mm]\(-3,5a-0,9)²[/mm] ergibt.
>
> Hier liegt ja eine binomische Formel vor, diese habe ich
> aufgelöst nach
>
> [mm]\112,25a²-2*((-3,5a)*0,9)+0,81[/mm] (ich hoffe das stimmt
> ;>),die nach Vereinfachung folgendermaßen aussieht:
>
> [mm]\((12,25a²-6,3a+0,81)²[/mm] .
>
Da hast du einen Fehler drin.
Steigung(a)=(-3,5a-0,9)²=12,25a²-6,3a+0,81 und zwar ohne Quadrat
Und hiervon suchst du jetzt das Minimum (a gibt dir ja die Steigung an, für die die Abweichung minimal ist.
Also:
Steigung'(a)=24,5a-6,3
Steigung''(a)=24,5
Steigung'(a)=0
24,5a-6,3=0
[mm] \gdw a=\bruch{6,3}{24,5}\approx0,257
[/mm]
Das ist deine Optimale Steigung der Regressionsgeraden g(x)=ax+b
Damit hast du:
g(x)=0,257x+b
Wenn u jetzt noch deinen Schwerpunkt [mm] (x_{s}/y_{s}) [/mm] kennst, kannst du das b berechnen.
[mm] y_{s}=0,257x_{s}+b
[/mm]
[mm] \gdw b=\bruch{y_{s}}{0,257x_{s}}
[/mm]
Und damit hast du dann deine Werte a und b der Regressionsgeraden, die somit eindeutig bestimmt ist.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:26 So 01.07.2007 | | Autor: | Ragniro |
super, danke :)
so, habe genau das gleiche ergebnis bekommen.
Das muss ich nun wohl auch für alle anderen Messpunkte machen, stimmts?
Und das Ergebnis? die Zahlen addieren und durch die Anzahl der Messpunkte dividieren und dann habe ich die Steigung der Gerade für die Puntkewolke?
Vielen Dank schonmal :)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:19 So 01.07.2007 | | Autor: | M.Rex |
So ist es. Allerdings würde ich erstmal alle Abstände aufaddieren, und daraus dann die beste Steigung ermitteln.
Marius
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:48 So 01.07.2007 | | Autor: | Ragniro |
so. habe von allen messpunkten a und b ausgerechnet. nun komme ich auf
a= 7,68 und b= 34,08
was mache ich nun damit?
habe mal ein bisschen versucht und bin dann auf die Gleichung (nach Division durch Anzahl der Messpunkte)
g(x)=0,96x+4,26 gekommen, diese verläuft allerdings nicht durch den Schwerpunkt (4,5|9,7)
Was soll ich nun tun?
Gruß Jonathan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:43 So 01.07.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
dein Wert a ist ja schon die Steigung.
Die Formel sagt ja:
[mm] Steigung(a)=\bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}{(y_{i}-ax_{i})²}
[/mm]
Und diese Formel musst du jetzt nach a ableiten, um das Minimum an Abweichung zu bekommen.
Also:
[mm] Steigung'(a)=\bruch{2}{n}\summe_{i=1}^{n}{(-x_{i})(y_{i}-ax_{i})}
[/mm]
[mm] =\bruch{2a}{n}\summe_{i=1}^{n}(x_{i})²-\bruch{2}{n}\summe_{i=1}^{n}{(x_{i}y_{i})}
[/mm]
daraus berechnest du jetzt dein a
Steigung'(a)=0
[mm] \gdw \bruch{2a}{n}\summe_{i=1}^{n}(x_{i})²=\bruch{2}{n}\summe_{i=1}^{n}{(x_{i}y_{i})}
[/mm]
[mm] \gdw a=\bruch{\summe_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}}{\summe_{i=1}^{n}x_{i}²}
[/mm]
Die [mm] x_{i} [/mm] sind jeweils die Abstände der Punkte zum Schwerpunkt.
Wenn du die gemessenen Koordinaten [mm] x_{j} [/mm] und [mm] y_{j} [/mm] deiner Punktwolke direkt einsetzen willst, ergibt sich folgende Formel
[mm] a=\bruch{\summe_{j=1}^{n}(x_{j}-x_{s})(y_{j}-y_{s})}{\summe_{i=1}^{n}(x_{j}-x_{s})²}
[/mm]
Somit hast du jetzt eine Steigung a berechnet.
Und mit Hilfe des Schwerpunktes berechnest du jetzt dein b, und hast damit die Gerade bestimmt.
Marius
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:01 So 01.07.2007 | | Autor: | Ragniro |
so :)
Für den Punkt P1 (1|8,8) und den Schwerpunkt S (4,5|9,7) bekomme ich mit der Formel dann raus:
[mm] a=\bruch{(1-4,5)(8,8-9,7)}{(1-4,5)}² [/mm] = 2,571 kann das sein?
wenn ja, dann muss ich das nun mit allen anderen Punkten auch noch machen. da werden doch aber andere Zahlen für a herauskommen, was mach ich dann mit denen?
Und wie kann ich mit meinem Schwerpunkt das b ausrechnen?
Danke für dein Verständnis :))
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:19 So 01.07.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Du berechnest "nur" den Abstand zu einem Punkt.
Du musst zuerst alle Abstände addieren, also erst die Summen im Zähler und im Nenner berechnen. Dann hast du (aus allen Punkten) genau eine Steigung berechnet, dein a.
Und wenn du diese berechnet hast, kannst du mit
[mm] \red{y_{s}}=\blue{a}*\green{x_{s}}+b [/mm] dein b berechnen.
(Die farbigen teile sind ja bekannt.
(Beispiel:
Du hast die Punkte [mm] \red{P_{1}(1/0)}, \blue{P_{2}(2/3)} [/mm] und [mm] \green{P_{3}(3/3)}
[/mm]
Dann gilt: S(2/2)
Somit gilt:
$ [mm] a=\bruch{\summe_{j=1}^{n}(x_{j}-x_{s})(y_{j}-y_{s})}{\summe_{i=1}^{n}(x_{j}-x_{s})²} [/mm] $
Also hier:
[mm] a=\bruch{\red{[(1-2)(0-2)]}+\blue{[(2-2)(3-2)]}+\green{[(3-2)(3-2)]}}{\red{[(1-2)²]}+\blue{[(2-2)²]}+\green{[(3-2)²]}}
[/mm]
[mm] =\bruch{3}{2}
[/mm]
Dann gilt:
[mm] g(x)=\bruch{3}{2}x+b
[/mm]
Mit dem Schwerpunkt:
[mm] 2=\bruch{3}{2}*2+b
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] b=-1
Also ist die Regressionsgerade:
[mm] g(x)=\bruch{3}{2}x-1
[/mm]
Jetzt klarer?
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:49 So 01.07.2007 | | Autor: | Ragniro |
so habe nun nach endlosem rechnen herausbekommen:
[mm] \bruch{10,4}{42}=0,247
[/mm]
das wäre dann ja
[mm] g(x)=\0,247x+b [/mm] nun muss ich ja den Schwerpunkt einsetzen.
da du in deinem Beispiel (2|2) hattest ist es egal, ich habe jedoch (4,5|9,7)
heißt es nun
[mm] 4,5=\0,247*9,7+b
[/mm]
oder
[mm] 9,7=\0,247*4,5+b [/mm] ??
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:19 So 01.07.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Es gilt zweiteres.
Generell gilt:
[mm] y_{s}=a*x_{s}+b
[/mm]
[mm] \gdw b=\bruchh{y_{s}}{ax_{s}}
[/mm]
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:31 So 01.07.2007 | | Autor: | Ragniro |
habe ich auch so versucht, endlich habe ich die richtige Gerade gefunden:
0,247x+8,588
mein Taschenrechner zeigt in der Wertetabelle bei x= 4,5 den Y-Wert 9,699 an, also ~ 9,7, somit den Schwerpunkt :)
Ich danke vielmals, vielleicht habt ihr mir mit eurer Hilfe meine Mathenote gerettet ;)
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