Regression mit 2 Unbekannten < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:59 Mo 19.12.2011 | | Autor: | toto45 |
Hallo,
ich habe verschiedene Messungen durchgeführt. Dabei sind zwei Unbekannte zu ermitteln. Ich habe 8 Messungen also 8 Gleichungen mit 2 Unbekannten. Nun möchte ich eine Regression dazu durchführen mit Excel um die zwei Unbekannten zu ermitteln.
Die Gleichung sieht wie folgt aus:
A=B*x+C*y
A,B,C sind bekannt
x, y die Unbekannten.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Wie geht das und wie sieht die Therie zu solchen Problemen aus. Ich habe das mit der Regression nur mit einer Unbekannten im Web gefunden.
Wäre super wenn einer helfen kann
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:38 Di 20.12.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
Erstmal herzlich ![[willkommenvh]](/images/smileys/willkommenvh.png "[willkommenvh]")
> ich habe verschiedene Messungen durchgeführt. Dabei sind
> zwei Unbekannte zu ermitteln. Ich habe 8 Messungen also 8
> Gleichungen mit 2 Unbekannten. Nun möchte ich eine
> Regression dazu durchführen mit Excel um die zwei
> Unbekannten zu ermitteln.
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> Die Gleichung sieht wie folgt aus:
> A=B*x+C*y
> A,B,C sind bekannt
> x, y die Unbekannten.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Wie geht das und wie sieht die Therie zu solchen Problemen
> aus. Ich habe das mit der Regression nur mit einer
> Unbekannten im Web gefunden.
Regression funktioniert immer über die Methode der kleinsten Quadrate. Wenn die i-te Messung die Messwerte [mm] $A_i$, $B_i$ [/mm] und [mm] $C_i$ [/mm] liefert, dann berechnest du
[mm] (A_i-B_i*x-C_i*y)^2 [/mm] ,
summierst dies über alle Messungen:
[mm] f(x,y) = \summe_i(A_i-B_i*x-C_i*y)^2 [/mm] .
und suchst diejenigen Werte x und y, für die $f(x,y)$ minimal wird. Das bedeutet, dass die partiellen Ableitungen von f nach x bzw y Null werden müssen, also
[mm] 0 = \bruch{\partial f}{\partial x} = \summe_i 2*(A_i-B_i*x-C_i*y)*(-B_i) [/mm]
und
[mm] 0 = \bruch{\partial f}{\partial y} = \summe_i 2*(A_i-B_i*x-C_i*y)*(-C_i) [/mm] .
Den Faktor 2 kann man vor die Summe ziehen und herauskürzen; wenn du die Klammern auf den rechten Seiten ausmultiplizierst und die Summen auseinanderziehst, ergeben sich die folgenden beiden Gleichungen:
[mm] 0 = -\left(\summe_i A_i B_i\right) +x \left(\summe_i B_i^2\right) +y \left(\summe_i B_i C_i\right) [/mm] ,
[mm] 0 = -\left(\summe_i A_i C_i\right) +x \left(\summe_i B_iC_i\right) +y \left(\summe_i C_i^2\right) [/mm] .
Das ist ein lineares Gleichungssystem für x und y, denn in den einzelnen Summen stehen nur deine Messwerte; die kannst du also direkt ausrechnen.
Um nachzuweisen, dass die Lösung dieses Gleichungssystems ei Minmum der Funktion $f(x,y)$ darstellt, kannst du noch nachrechnen, dass die Matrix der zweiten Ableitungen positiv definit ist.
Viele Grüße
Rainer
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